Question

【題目】已知：內接于⊙，連接并延長交于點，交⊙于點，滿足．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，連接，點為弧上一點，連接，=，過點作，垂足為點，求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點為上一點，分別連接，，過點作，交⊙于點，，，連接，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）如圖1中，連接AD．設∠BEC=3α，∠ACD=α，再根據圓周角定理以及三角形內角和與外角的性質證明∠ACB=∠ABC即可解決問題；
（2）如圖2中，連接AD，在CD上取一點Z，使得CZ=BD．證明△ADB≌△AZC（SAS），推出AD=AZ即可解決問題；
（3）連接AD，PA，作OK⊥AC于K，OR⊥PC于R，CT⊥FP交FP的延長線于T．假設OH=a，PC=2a，求出sin∠OHK=，從而得出∠OHK=45°，再根據角度的轉化得出∠DAG=∠ACO=∠OAK，從而有tan∠ACD=tan∠DAG=tan∠OAK=，進而可求出DG，AG的長，再通過勾股定理以及解直角三角形函數可求出FT，PT的長即可解決問題．

（1）證明：如圖1中，連接AD．設∠BEC=3α，∠ACD=α．

∵∠BEC=∠BAC+∠ACD，

∴∠BAC=2α，
∵CD是直徑，

∴∠DAC=90°，
∴∠D=90°-α，

∴∠B=∠D=90°-α，
∵∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-2α-（90°-α）=90°-α．
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．

（2）證明：如圖2中，連接AD，在CD上取一點Z，使得CZ=BD．

∵=，

∴DB=CF，
∵∠DBA=∠DCA，CZ=BD，AB=AC，
∴△ADB≌△AZC（SAS），

∴AD=AZ，
∵AG⊥DZ，

∴DG=GZ，
∴CG=CZ+GZ=BD+DG=CF+DG．

（3）解：連接AD，PA，作OK⊥AC于K，OR⊥PC于R，CT⊥FP交FP的延長線于T．

∵CP⊥AC，

∴∠ACP=90°，

∴PA是直徑，
∵OR⊥PC，OK⊥AC，

∴PR=RC，∠ORC=∠OKC=∠ACP=90°，
∴四邊形OKCR是矩形，

∴RC=OK，
∵OH:PC=1:，

∴可以假設OH=a，PC=2a，

∴PR=RC=a，
∴RC=OK=a，sin∠OHK=，

∴∠OHK=45°．
∵OH⊥DH，

∴∠DHO=90°，

∴∠DHA=180°-90°-45°=45°，
∵CD是直徑，

∴∠DAC=90°，

∴∠ADH=90°-45°=45°，
∴∠DHA=∠ADH，

∴AD=AH，
∵∠COP=∠AOD，

∴AD=PC，
∴AH=AD=PC=2a，
∴AK=AH+HK=2a+a=3a，
在Rt△AOK中，tan∠OAK=，OA=，

∴sin∠OAK=，

∵∠ADG+∠DAG=90°，∠ACD+∠ADG=90°，

∴∠DAG=∠ACD，
∵AO=CO，

∴∠OAK=∠ACO，
∴∠DAG=∠ACO=∠OAK，
∴tan∠ACD=tan∠DAG=tan∠OAK=，
∴AG=3DG，CG=3AG，
∴CG=9DG，
由（2）可知，CG=DG+CF，
∴DG+12=9DG，

∴DG=，AG=3DG=3×=，
∴AD=，

∴PC=AD=．

∵sin∠F=sin∠OAK，

∴sin∠F=，

∴CT=，

FT=，

PT=，

∴PF=FT-PT=．