Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+8ax(a>0)與x軸交于O，A兩點，頂點為M，對稱軸與x軸交于H，與過O，A，M三點的⊙Q交于點B，⊙Q的半徑為5，點C從點B出發，沿著圓周順時針向點M運動，射線MC與x軸交于D，與拋物線交于E，過點E作ME的垂線交拋物線的對稱軸于點F.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當點C的運動路徑長為 時，求證：HD=2HA.

(3)在點C運動過程中．是否存在這樣的位置，使得以點M，E，F為頂點的三角形與△AHQ相似?若存在，求出此位置時點E的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)y=x2+4x；(2)證明見解析；(3)存在，E(， )或E(， )

【解析】

(1)利用函數解析式，由y=0可求出拋物線與x軸的兩交點坐標，利用垂徑定理求出AH的長，再在Rt△AHQ中，利用勾股定理求出HQ的長，由半徑為5，可求出點M的坐標，然后將點M的坐標的函數解析式，建立關于a的方程，解方程求出a的值.

(2)利用弧長公式求出n的值，根據圓周角定理求出∠BMC的度數，在Rt△HMD中，利用勾股定理求出HD的長，再根據MH=2AH，可證得結論.

(3)分情況討論：①當∠EMF=∠HQA時,△MEF∽△QHA，利用相似三角形的對應邊成比例求出HD的長，可得到點D的坐標，再利用待定系數法求出直線MD的函數解析式，然后求出兩函數的交點坐標；②當∠EMF=∠QAH時,△MEF∽△AHQ，利用相似三角形的對應邊成比例求出HD的長，可得到點D的坐標，再利用待定系數法求出直線MD的函數解析式，然后求出兩函數的交點坐標，即可得到符合題意的點E的坐標.

解：(1)令y=0,得ax2+8ax=0,解得x1=-8,x2=0，

∴A(-8，0)

由垂徑定理,得AH=AO=4,

在Rt△AHQ中, HQ=，

∴HM=HQ+QM=3+5=8，

∴M(-4，-8)

把M(-4,-8)代入拋物線得，

解得a=，

∴拋物線的解析式為y=x2+4x

(2)∵點C的路徑為,

∴，解得n=120°，

∴∠BMC==60°,

在Rt△HMD中, HD==MH

∵MH=8,AH=4,即MH=2HA

∴HD=2HA

(3)存在，E點坐標為(， )或(， )，理由如下：

已知∠FEM=∠AHQ=90°，

①當∠EMF=∠HQA時,△MEF∽△QHA,

此時△MHD∽△QHA,

∴,即

解得HD=，

∴OD=

∴D(0)，

設直線MD解析式為，將M(-4，-8)，D(0)代入得，

，解得，

∴直線MD的解析式為y=x-5,

將直線MD與拋物線聯立得，

，解得或

此時E點坐標為(，)；

②當∠EMF=∠QAH時，△MEF∽△AHQ,

此時△MHD∽△AHQ,

∴，即

解得HD=6，

∴OD=6-4=2

∴D(2,0),

設直線MD解析式為，將M(-4，-8)，D(2，0)代入得，

，解得，

∴直線MD的解析式為

將直線MD與拋物線聯立得，

，解得或

此時E點坐標為(，)；

綜上所述，E點坐標為(， )或(， ).