Question

【題目】在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，AC，BD相交于點O．邊AB＝_____，將一個足夠大的直角三角板60°角的頂點放在菱形ABCD的頂點A處，繞點A左右旋轉，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點E，F，連接EF與AC相交于點G．旋轉過程中，當點E為邊BC的四等分點時（BE＞CE），CG＝_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

根據菱形的性質，確定△AOB為直角三角形，然后利用勾股定理求出邊AB的長度；證明△ABE≌△ACF，得到AE=AF，再根據已知條件∠EAF=60°，可以判定△AEF是等邊三角形；得出∠AEF=60°，證明△CAE∽△CFG，由對應邊的比例關系求出CG的長度．

解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，

∴△AOB為直角三角形，且OA＝AC＝1，OB＝BD＝．

在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝2．

∵AB＝BC＝AC＝2，

∴△ABC與△ACD均為等邊三角形，

∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝60°，∠ACE＝∠EBA＝∠FCA＝60°，

又∵∠EAF＝∠CAF+∠CAE＝60°，

∴∠BAE＝∠CAF．

在△ABE與△ACF中，，

∴△ABE≌△ACF（ASA），

∴BE＝CF，AE＝AF，

∴△AEF是等腰三角形，

又∵∠EAF＝60°，

∴△AEF是等邊三角形．

∴∠AEF＝60°，

∵BC＝2，E為為邊BC的四等分點，且BE＞CE，

∴CE＝，BE＝．

∴CF＝BE＝，

∵∠EAC+∠AEG+∠EGA＝∠GFC+∠FCG+∠CGF＝180°，∠AEG＝∠FCG＝60°，∠EGA＝∠CGF，

∴∠EAC＝∠GFC．

又∵∠ACE＝∠FCG＝60°，

∴△CAE∽△CFG，

∴＝，即＝，

解得：CG＝；

故答案為2； ．