Question

【題目】如圖，分別以的邊為腰向外作等腰和等腰，連是的中線．

（1）知識理解：圖①所示，當時，則與的位置關系為______，數量關系為______；

（2）知識應用：圖②所示，當時，M，N分別是BC，DE的中點，求證：且；

（3）拓展提高：圖③所示，四邊形中，，分別以邊和為腰作等腰和等腰，連，分別取、的中點，連．

①求證：；

②直接寫出之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1），；（2）詳見解析；（3）①詳見解析；②

【解析】

（1）根據題意，延長FA交BC于點H，通過等腰三角形的相關性質得到全等條件，從而證明，進而即可得解；

（2）根據題意，延長CA至F，使，FA交DE于點P，并連接BF，先證明，再根據等角的余角相等以及中位線的性質即可得解；

（3）①根據題意，將沿AH方向平移至，沿DH方向平移至，連接EN，FQ，NG，QG，延長HG至S，使GS=GH，連接HS，QS，通過證明及進而即可得解；②通過上述問題得到的結論結合進行求解即可得解.

（1），

證明：如下圖所示，延長FA交BC于點H

∵AB=AC，與為等腰直角三角形

∴

∴與為等腰三角形，

，

∵

∴

∴

∵AF是的中線，

∴

∴

∵

∴

∴，

在與中

∴

∴，

∴

∵

∴

∴，；

（2）證明：如下圖，延長CA至F，使，FA交DE于點P，并連接BF

∵與為等腰直角三角形

∴，，，

∵，

∴

在與中

∴

∴，

∴

∴

又∵，M是BC中點

∴，

∴，；

（3）①證明：將沿AH方向平移至，沿DH方向平移至，

連接EN，FQ，NG，QG，延長HG至S，使GS=GH，連接HS，QS

∵AH=DH，，，，

∴，

又∵EG=FG

∴

∴GN=GQ，

∵E，G，F三點共線

∴N，G，Q三點共線

∴四邊形NHQS是平行四邊形

∴，

∵

∴

∵

∴

∴

∵，

∴

∴

∴

∴

∴

∴；

②

證明：∵

∴.