Question

15．如圖，已知，在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸負半軸上，點B在y軸正半軸上，OA=OB，函數y=-$\frac{8}{x}$的圖象與線段AB交于M點，且AM=BM，過點M作MC⊥x軸于點C，MD⊥y軸于點D．
（1）求證：MC=MD；
（2）求點M的坐標；
（3）求直線AB的解析式．

Answer 1

分析 （1）先根據AM=BM得出點M為AB的中點，再根據MC⊥x軸，MD⊥y軸，故MC∥OB，MD∥OA得出點C和點D分別為OA與OB中點，根據OA=OB即可得出結論；
（2）由（1）知，MC=MD，設點M的坐標為（-a，a）．把M （-a，a）代入函數y=$-\frac{8}{x}$中求出a的值即可；
（3）根據點M的坐標得出MC，MD的長，故可得出A、B兩點的坐標，利用待定系數法即可得出直線AB的解析式．

解答 （1）證明：∵AM=BM，
∴點M為AB的中點
∵MC⊥x軸，MD⊥y軸，
∴MC∥OB，MD∥OA，
∴點C和點D分別為OA與OB中點，
∵OA=OB，
∴MC=MD．

（2）解：∵由（1）知，MC=MD，
∴設點M的坐標為（-a，a）．
把M （-a，a）代入函數y=$-\frac{8}{x}$中，解得a=2$\sqrt{2}$．
∴點M的坐標為（-$2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$）．

（3）解：∵點M的坐標為（-$2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$），
∴MC=$2\sqrt{2}$，MD=$2\sqrt{2}$，
∴OA=OB=2 MC=$4\sqrt{2}$，
∴A（-$4\sqrt{2}$，0），B（0，$4\sqrt{2}$）．
設直線AB的解析式為y=kx+b，
把點A（-$4\sqrt{2}$，0）和點B（0，$4\sqrt{2}$）分別代入y=kx+b中，$\left\{\begin{array}{l}-4\sqrt{2}k+b=0\\ b=4\sqrt{2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=4\sqrt{2}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=x+4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到反比例函數圖象上點的坐標特點、用待定系數法求一次函數的解析式、三角形中位線定理等知識，此題中根據題意得出A、B、M三點的坐標是解答此題的關鍵．