Question

正方形ABCD的邊長為3，E，F 分別是AB，BC邊上的點，且∠EDF=45°．將

△DAE繞點D逆時針旋轉90°，得到△DCM．

（1）求證：EF=FM；

（2）當AE=1時，求EF的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析   （2）

【解析】（1）證明：∵△DAE逆時針旋轉90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，

∴ F，C，M三點共線，DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°.

∵ ∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°.

在△DEF和△DMF中，DE=DM，∠EDF=∠MDF，DF=DF，

∴△DEF≌△DMF（SAS），∴ EF=MF.

（2）解：設EF=MF=x，∵AE=CM=1，且BC=3，∴ BM=BC+CM=3+1=4，

∴BF=BM－MF=BM－EF=4－x.

∵EB=AB－AE=3－1=2，在Rt△EBF中，

由勾股定理得EB²+BF²=EF²，即2²+（4－x）²=x²，

解得：x=，即EF=.