Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點D是AB延長線上的一點，點C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為3，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）圖中陰影部分的面積為．

【解析】

（1）連接OC．只需證明∠OCD=90°．根據等腰三角形的性質即可證明；（2）陰影部分的面積即為直角三角形OCD的面積減去扇形COB的面積．

（1）證明：連接OC．

∵AC＝CD，∠ACD＝120°，

∴∠A＝∠D＝30°．

∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠A＝30°．

∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝90°．即OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線．

（2）解：∵∠A＝30°，

∴∠COB＝2∠A＝60°．

∴S扇形BOC＝ ，

在Rt△OCD中，CD＝OC ，

∴ ，

∴ ，

∴圖中陰影部分的面積為．