Question

【題目】如圖，是一個銳角三角形，分別以、向外作等邊三角形、，連接、交于點，連接.

（1）求證：

（2）求證：

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）過A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，設AB與CD相交于點G．根據等邊三角形的性質得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，根據全等三角形的判定定理即可得△ACD≌△AEB，根據全等三角形的性質可得AM=AN，根據角平分線的判定定理即可得到∠DFA=∠AFE，再根據全等三角形的對應角相等和三角形內角和等于180°得到∠DFB=∠DAG=60°，即可得到結論；

（2）如圖，延長FB至K，使FK=DF，連DK，根據等邊三角形的性質和全等三角形的判定和性質定理即可得到結論．

（1）過A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，設AB與CD相交于點G．

∵△ABD和△ACE為等邊三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠DAC=∠BAE=60°+∠BAC．

在△ACD和△AEB中，∵，

∴△ACD≌△AEB，

∴CD=BE，∠ADG=∠ABF，△ADC的面積=△ABE的面積，

∴CDAM=BEAN，

∴AM=AN，

∴AF是∠DFE的平分線，

∴∠DFA=∠AFE．

∵∠ADG=∠ABF，∠AGD=∠BGF，

∴∠DFB=∠DAG=60°，

∴∠GFE=120°，

∴∠BFD=∠DFA=∠AFE．

（2）如圖，延長FB至K，使FK=DF，連接DK．

∵∠DFB=60°，

∴△DFK為等邊三角形，

∴DK=DF，∠KDF=∠K=60°，

∴∠K=∠DFA=60°．

∵∠ADB=60°，

∴∠KDB=∠FDA．

在△DBK和△DAF中，

∵∠K=∠DFA，DK=DF，∠KDB=∠FDA，

∴△DBK≌△DAF，

∴BK=AF．

∵DF=DK=FK=BK+BF，

∴DF=AF+BF，

又∵CD=DF+CF，

∴CD=AF+BF+CF．