Question

【題目】綜合與探究：在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于，兩點(點在點的右側)，與軸交于點，它的對稱軸與軸交于點，直線經過，兩點，連接．

（1）求，兩點的坐標及直線的函數表達式；

（2）探索直線上是否存在點，使為直角三角形，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由；

（3）若點是直線上的一個動點，試探究在拋物線上是否存在點：

①使以點，，，為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由；

②使以點，，，為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）點的坐標為，點的坐標為，；（2）存在，點的坐標為或；（3）①拋物線上存在點，使以點為頂點的四邊形為菱形，此時點的坐標為；②拋物線上存在點，使以點為頂點的四邊形為矩形，此時點的坐標為

【解析】

（1）先由拋物線的解析式以及圖像特征求得點、的坐標，再利用待定系數法即可求得直線的函數表達式；

（2）先由點、 、 三點的坐標根據坐標系中距離公式推出為等邊三角形，再分兩種情況畫圖進行分類討論，利用解直角三角形確定符合要求的點的坐標．

（3）①通過添加輔助線構造出四邊形，然后根據菱形的判定方法進行證明即可；

②通過添加輔助線構造出四邊形，然后根據矩形的判定方法進行證明即可．

解：（1）當時，

解得，

∵

∴點的坐標為，點的坐標為

∴拋物線的對稱軸為直線

∴點的坐標為

當時，

∴點的坐標為

設直線的表達式為，則

解得

∴直線的表達式為．

（2）結論：直線上存在點，使為直角三角形．

證明：∵點的坐標為，點的坐標為

∴

又∵點的坐標為，

∴

∴

∴為等邊三角形

∴

分兩種情況：

①當時，

∵

∴

作軸于點，如圖：

∵在中，

∴，

∴點的坐標為．

②作軸于點，如圖：

當時

∵

∴，

∴

∴

在中，

∴，

∵

∴點的坐標為

∴綜上所述：直線上存在點，使為直角三角形，點的坐標為或；

（3）①過點作軸交拋物線于點，連接，如圖：

∵點的坐標為，

∴當時，

∴，（不合題意舍去）

∴點的坐標為

∴

∵點的坐標為

∴

∵由（2）可知

∴

∴四邊形是菱形

∴當點位于點處時，拋物線上存在點，使以點、、、為頂點的四邊形為菱形，此時點的坐標為；

②過點作交直線于點，連接、，如圖：

∵

∴

∵由（2）可知

∴

∵由（2）可知

∴

∴

∵點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為

∴，

∴

∴四邊形是矩形

∴拋物線上存在點即點處，使以點、、、為頂點的四邊形為矩形，此時點的坐標為．