Question

【題目】如圖，四邊形內接于⊙，且．延長至點，使，連接．

（1）求證：平分；

（2）若，求證：是⊙的切線．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據同弧所對圓周角相等可得∠ABD＝∠ACD，由此可證△ABD≌△ACE，進而可得AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，再由AD＝AE得∠ADE＝∠AEC，等量代換即可得證；

（2）由AB∥CD得∠ADE＝∠BAD，結合∠ADE＝∠ADB可得∠ADB＝∠BAD，由此可得AB＝BD，結合BD＝CE，進而可證四邊形ABCE為平行四邊形，進而得BC∥AE，連接OA、OB、OC，再根據AB＝AC，OB＝OC可證AO⊥BC，結合BC∥AE即可得證．

（1）證明：由圖可知：∠ABD＝∠ACD，

∵在△ABD與△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，

∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AEC，

∴∠ADE＝∠ADB，

∴AD平分∠BDE；

（2）∵AB∥CD，

∴∠ADE＝∠BAD，

∵∠ADE＝∠ADB，

∴∠ADB＝∠BAD，

∴AB＝BD，

∵BD＝CE，

∴AB＝CE，

∵AB＝CE，AB∥CD，

∴四邊形ABCE為平行四邊形，

∴BC∥AE，

如圖，連接OA、OB、OC，

∵AB＝AC，OB＝OC

∴AO⊥BC，

又∵BC∥AE

∴AO⊥AE，

∴AE是⊙O的切線．