【題目】已知拋物線與坐標軸交于
.
(1)求拋物線的解析式;
(2)設直線與該拋物線交于點
(
在
的左側),記拋物線在直線
下方的圖象為
,在直線
下方的圖象為
,將圖象
沿直線
向下翻折得到圖象
,圖象
和圖象
兩部分組成的圖象記為
.
①設圖象的頂點為
,當
落在
的邊上時,求實數
的值.
②當時,設
是圖象
上的動點.
(i)連結,過線段
的中點作
軸的平行線交
軸于點
,當
是以
為直角頂點的直角角形時,直接寫出
的值.
(ii)當時,
的最小值為
,直接寫出
的最大值及相應的
的取值范圍.
【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)點Q的坐標為(1,5)或(1.-5).
【解析】
(1)點A、B、C的坐標已知,只需運用待定系數法就可求出拋物線的解析式;
(2)由四邊形POP′B為菱形可得PO=PB,從而有∠POB=∠PBO.由點Q在拋物線的對稱軸上可得QA=QB,從而有∠QAB=∠QBA.由△QAB與△POB相似可得∠PBO=∠QBA,從而可得點Q、P、B共線.由PO=PB可得點P在OB的垂直平分線上,從而可得xP= ,代入拋物線即可求出點P的坐標,然后根據相似三角形的性質,即可得到點Q的坐標;
(1)∵A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)在拋物線y=ax2+bx+c上,
∴ ,
解得 .
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3;
(2)∵四邊形POP′B為菱形,
∴PO=PB,
∴∠POB=∠PBO.
∵點Q在拋物線的對稱軸上,
∴QA=QB,
∴∠QAB=∠QBA.
由△QAB與△POB相似可得∠PBO=∠QBA,
∴當Q點在x軸上方時,點Q、P、B共線.
∵PO=PB,
∴點P在OB的垂直平分線上,
∴xP=,
此時yP=- ,
點P的坐標為().
∵△QAB~△POB,
∴ ,
∵yP=,AB=4,OB=3,
∴ ,
∴|yQ|=5,
∴yQ=±5,
∵拋物線的對稱軸為x=-=1,
∴點Q的坐標為(1,5)或(1.-5).
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】中華鱘是國家一級保護動物,它是大型洄游性魚類,生在長江,長在海洋,受生態環境的影響,數量逐年下降。中華鱘研究所每年定期通過人工養殖放流來增加中華鱘的數量,每年放流的中華鱘中有少數體內安裝了長效聲吶標記,便于檢測它們從長江到海洋的適應情況,這部分中華鱘簡稱為“聲吶鱘”,研究所收集了它們到達下游監測點A的時間t(h)的相關數據,并制作如下不完整統計圖和統計表.
已知:今年和去年分別有20尾“聲吶鱘”在放流的96小時內到達監測點A,今年落在24<t≤48內的“聲吶鱘”比去年多1尾,今年落在48<t≤72內的數據分別為49,60,68,68,71.
去年20尾“聲吶鱘”到達監測點A 所用時間t(h)的扇形統計圖
今年20尾“聲吶鱘”到達監測點A所用時間t(h)的頻數分布直方圖
關于“聲吶鱘”到達監測點A所用時間t(h)的統計表
平均數 | 中位數 | 眾數 | 方差 | |
去年 | 64.2 | 68 | 73 | 715.6 |
今年 | 56.2 | a | 68 | 629.7 |
(1)請補全頻數分布直方圖,并根據以上信息填空:a= ;
(2)中華鱘到達海洋的時間越快,說明它從長江到海洋的適應情況就越好,請根據上述信息,選擇一個統計量說明去年和今年中哪一年中華鱘從長江到海洋的適應情況更好;
(3)去年和今年該放流點共放流1300尾中華鱘,其中“聲吶鱘”共有50尾,請估計今年和去年在放流72小時內共有多少尾中華鱘通過監測站A.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點,其中A點坐標為(﹣1,0),點C(0,5),另拋物線經過點(1,8),M為它的頂點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求△MCB的面積.
(3)在坐標軸上,是否存在點N,滿足△BCN為直角三角形?如存在,請直接寫出所有滿足條件的點N.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知反比例函數的圖象與一次函數
的圖象在第一象限交于
兩點,一次函數的圖象與
軸交于點
.
(1)求反比例函數和一次函數的表達式;
(2)當為何值時,
?
(3)已知點,過點
作
軸的平行線,在第一象限內交一次函數
的圖象于點
,交反比例函數
的圖象于點
.結合函數圖象直接寫出當
時
的取值范圍.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】 實施新課程改革后,學生的自主學習、合作交流能力有很大提高,張老師為了了解所教班級學生自主學習、合作交流的具體情況,對本班部分學生進行了為期半個月的跟蹤調查,并將調查結果分成四類,A:特別好;B:好;C:一般;D:較差;并將調查結果繪制成以下兩幅不完整的統計圖,請你根據統計圖解答下列問題:
(1)本次調查中C類女生有______名,D類男生有______名;將上面的條形統計圖補充完整;
(2)計算扇形統計圖中D所占的圓心角是______;
(3)為了共同進步,張老師想從被調查的A類和D類學生中分別選取一位同學進行“一幫一”互助學習,請用列表法或畫樹形圖的方法求出所選兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學的概率.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,某輪船以每小時30海里的速度向正東方向航行,上午8:00,測得小島C在輪船A的北偏東45°方向上;上午10:00,測得小島C在輪船B的北偏西30°方向上,則輪船在航行中離小島最近的距離約為__海里(精確到1海里,參考數據≈1.414,
≈1.732).
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩所醫院分別有一男一女共4名醫護人員支援湖北武漢抗擊疫情.
(1)若從甲、乙兩醫院支援的醫護人員中分別隨機選1名,則所選的2名醫護人員性別相同的概率是 ;
(2)若從支援的4名醫護人員中隨機選2名,用列表或畫樹狀圖的方法求出這2名醫護人員來自同一所醫院的概率.
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