Question

【題目】著名數學教育家波利亞曾說：“對一個數學問題，改變它的形式，變換它的結構，直到發現有價值的東西，這是數學解題的一個重要原則．”

閱讀下列兩則材料，回答問題

材料一：平方運算和開方運算是互逆運算，如：a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么＝|a±b|，那么如何將雙重二次根式（a＞0，b＞0，a±2＞0）化簡呢？如能找到兩個數m，n（m＞0，n＞0），使得（2+（）2＝a即m+n＝a，且使即mn＝b，那么a±2＝（）2+（）2±2＝（2

∴＝＝|，雙重二次根式得以化簡．

例如化簡：．∵3＝1+2且2＝1×2，∴3+2＝（）2+（）2+2，

∴＝＝1+．

材料二：在直角坐標系xoy中，對于點P（x，y）和Q（x，y′）出如下定義：若y′＝，則稱點Q為點P的“橫負縱變點”例如，點（3，2）的“橫負縱變點”為（3，2），點（﹣2，5）的“橫負縱變點”為（﹣2，﹣5）

問題：

（1）請直接寫出點（﹣3，﹣2）的“橫負縱變點”為　 　；化簡＝　 　；

（2）點M為一次函數y＝﹣x+1圖象上的點，M′為點M的橫負縱變點，已知N（1，1），若M′N＝，求點M的坐標；

（3）已知b為常數且1≤b≤2，點P在函數y＝﹣x2+16（+）（﹣7≤x≤a）的圖象上，其“橫負縱變點”的縱坐標y′的取值范圍是﹣32＜y′≤32，若a為偶數，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）（﹣3，2）；﹣；（2）當a≥0時，M'（3，﹣2）；當a＜0時，M'（﹣1，﹣2）；（3）a＝4或a＝6

【解析】

（1）﹣3＜0，得到（﹣3，﹣2）的“橫負縱變點”為（﹣3，2）；＝＝﹣；

（2）設點M（a，1﹣a），當a≥0時，M'（a，1﹣a），M'（3，﹣2）；當a＜0時，M'（a，a﹣1），M'（﹣1，﹣2）；

（3）＝+1+1﹣＝2，令y'＝，當﹣7≤x＜0時，﹣32＜y'≤17，當x≥0時，y'≤32，即可求出a．

解：（1）∵﹣3＜0，根據“橫負縱變點”的定義，

∴（﹣3，﹣2）的“橫負縱變點”為（﹣3，2）；

＝＝﹣；

故答案為：（﹣3，2）；﹣；

（2）設點M（a，1﹣a），

當a≥0時，M'（a，1﹣a），

∵N（1，1），M′N＝，

∴（1﹣a）2+a2＝13，

∴a＝3或a＝﹣2（舍），

∴M'（3，﹣2）；

當a＜0時，M'（a，a﹣1），

∵N（1，1），M′N＝，

∴（1﹣a）2+（2﹣a）2＝13，

∴a＝﹣1或a＝4（舍），

∴M'（﹣1，﹣2）；

（3）∵1≤b≤2，∴0≤b﹣1≤1，

∵＝+1+1﹣＝2，

∴y＝﹣x2+32，

∴y'＝，

當﹣7≤x＜0時，﹣32＜y'≤17；

當x≥0時，y'≤32；

令﹣x2+32＝17，解得x1＝或x2＝﹣（舍）；

令﹣x2+32＝﹣32，解得x1＝8或x2＝﹣8（舍）；

∴≤a＜8，

∵a是偶數，

∴a＝4或a＝6．