Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.

(1)當直線MN如圖(1)的位置時，

求證：①△ADC≌△CEB ②DE=AD+BE

(2)當直線MN繞點C旋轉到圖(2)的位置時，直接寫出DE、AD、BE三者之間的關系 .

Answer 1

【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析；(2)DE=AD-BE，理由見解析.

【解析】

(1)①由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，則∠ADC=∠CEB=90°，根據等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，根據AAS即可證得Rt△ADC≌Rt△CEB；

②由①中的全等可得AD=CE，DC=BE，根據線段的和差即可求得結論；

(2)根據等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，繼而可得DE、AD、BE間的關系.

(1)①∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，

又∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，

∴∠ACD=∠CBE，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB；

②∵△ADC≌△CEB，

∴AD=CE，DC=BE，

∵DE=DC+CE，

∴DE=AD+BE；

(2)DE=AD-BE，理由如下：

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，

又∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，

∴∠ACD=∠CBE，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB；

∴AD=CE，DC=BE，

∵DE=CE-CD，

∴DE=AD-BE.