Question

【題目】已知線段AB⊥直線l于點B，點M在直線l上，分別以AB、AM為邊作等邊△ABC和等邊△AMN，直線CN交直線l于點D.

（1）當點M在AB右側時，如圖①，試探索線段CN、CD、DM的數量關系，并說明理由；

（2）當點M在AB左側時，如圖②，(1)中線段CN、CD、DM的數量關系仍然成立嗎？若不成立，寫出新的數量關系；

（3）若BM=2BD，DN=9，則CD= .

Answer 1

【答案】（1）MD=CN-CD；理由見解析；

（2）（1）中的數量關系不成立，MD=CN+CD；理由見解析；

（3）CD=3或9

【解析】

（1）如圖①中，設AM交ND于O．首先證明△ABM≌△ACN（SAS），推出BM=NC，再證明BD=CD即可得到MD=CN-CD；

（2）如圖②, 設AM交ND于O．類似（1）的證明方法，先證明△ABM≌△ACN（SAS），得到CN=BM，再證明CD=BD，可得到MD=CN+CD；

（3）分圖①，圖②兩種情形，設BD=CD=x，則BM=2x，列出方程分別求解即可.

（1）MD=CN-CD；理由是：

如圖①中，設AM交ND于O．

∵△ABC，△AMN都是等邊三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴CN=BM，

∴∠ANO=∠DMO，
∵∠AON=∠DOM，
∴∠ODM=∠OAN=60°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABM=90°，

∵∠ABC=60°，
∴∠CBD=30°，
∵∠ODM=∠CBD+∠BCD，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴CD=BD，
∴MD=CN-CD
（2）不成立，MD=CN+CD；

證明：如圖②, 設AM交ND于O．

∵△ABC，△AMN都是等邊三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△ABM≌△ACN（SAS），

∴CN=BM，

∴∠ANC=∠AMB，
∵∠AOM=∠DON，
∴∠ODN=∠OAM=60°，
∵AB⊥BD，
∴∠ABD=90°，

∵∠ABC=60°，
∴∠CBD=30°，
∵∠ODN=∠CBD+∠BCD，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴CD=BD，
∴MD=MB+BD=CN+CD；

（3）分兩種情況：

①如圖①中，

∵BM=2BD，設BD=MD=CD=x，則BM=2x,
∵DN=9，BM=NC，

∴BM+CD=DN
∴2x+x=9，
∴x=3
∴CD=3．
②如圖②中，設BD=CD=x，則BM=2x，

∵BM=NC，ND=9，

CD+DN= CN；
∴x+9=2x，
∴x=9，
∴CD=9，
綜上所述，CD=3或9．
故答案為3或9．