Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是矩形，cot∠ADB=，AB=16．點E在射線BC上，點F在線段BD上，且∠DEF=∠ADB．

（1）求線段BD的長；

（2）設BE=x，△DEF的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出函數定義域；

（3）當△DEF為等腰三角形時，求線段BE的長．

Answer 1

【答案】（1）20；（2），定義域為0＜x≤24；（3）20或24或．

【解析】

試題分析：（1）由矩形的性質和三角函數定義求出AD，由勾股定理求出BD即可；

（2）證明△EDF∽△BDE，得出，求出CE=|x﹣12|，由勾股定理求出DE，即可得出結果；

（3）當△DEF是等腰三角形時，△BDE也是等腰三角形，分情況討論：

①當BE=BD時；②當DE=DB時；③當EB=ED時；分別求出BE即可．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

在Rt△BAD中，，AB=16，

∴AD=12∴；

（2）∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵∠DEF=∠ADB，

∴∠DEF=∠DBC，

∵∠EDF=∠BDE，

∴△EDF∽△BDE，

∴，

∵BC=AD=12，BE=x，

∴CE=|x﹣12|，

∵CD=AB=16

∴在Rt△CDE中，，

∵，

∴，

∴，定義域為0＜x≤24

（3）∵△EDF∽△BDE，

∴當△DEF是等腰三角形時，△BDE也是等腰三角形，

①當BE=BD時

∵BD=20，∴BE=20

②當DE=DB時，

∵DC⊥BE，∴BC=CE=12，

∴BE=24；

③當EB=ED時，

作EH⊥BD于H，則BH=，cos∠HBE=cos∠ADB，

即

∴，

解得：BE=；

綜上所述，當△DEF時等腰三角形時，線段BE的長為20或24或．