Question

【題目】教材呈現：下圖是華師版九年級上冊數學教材第77頁的部分內容.

猜想：

如圖，在中，點分別是與的中點，根據畫出的圖形，可以猜想：

，且.

對此，我們可以用演繹推理給出證明.

證明：在中，

∵點分別是與的中點，

∴.

請根據教材提示，結合圖①，寫出完整的證明過程.

結論應用：

如圖②在四邊形中，，點是對角線的中點，是中點，是中點，與相交于點.

（1）求證：；

（2）若，，，則_______________.

Answer 1

【答案】猜想：證明過程見解析；結論應用：（1）見解析；（2）.

【解析】

猜想：利用兩邊對應成比例且夾角相等可證，再利用相似三角形的性質即可證得猜想；

結論應用：（1）根據猜想的結論可得：，，進而可得，然后利用等腰三角形的性質即可得出結論；

（2）過點P作PF⊥MN于點F，如圖②，由（1）得：PN∥AD，PM∥BC，然后利用平行線的性質即可求出∠MPN，再由（1）的結論可得∠2的度數，因為，而BC=4，所以MP=2，因為∠PQF=∠1+∠2，所以∠PQF可得，然后在直角△PQF中利用30°角的直角三角形的性質即可求出結果.

教材呈現：

證明：在中，∵點分別是與的中點，

∴，

∵，∴，

∴，，

∴，.

結論應用：

（1）證明：∵分別為的中點，∴，

∵分別為的中點，∴，

∵，∴，

∴；

（2）解：過點P作PF⊥MN于點F，如圖②，

由（1）得：PN∥AD，PM∥BC，

∴∠NPB=∠ADB=90°=∠NPD，∠1=∠DBC=30°，∴∠MPN=30°+90°=120°，

∵，∴，

∵，，，

∴，

∴PF=，

∵∠PQF=∠1+∠2=60°，∴∠QPF=30°，

∴，

∴.

故答案為：.