Question

已知二次函數。

（1）求證：不論a為何實數，此函數圖象與x軸總有兩個交點。

（2）設a<0，當此函數圖象與x軸的兩個交點的距離為時，求出此二次函數的解析式。

（3）若此二次函數圖象與x軸交于A、B兩點，在函數圖象上是否存在點P，使得△PAB的面積為，若存在求出P點坐標，若不存在請說明理由。

Answer 1

解（1）因為△=

所以不論a為何實數，此函數圖象與x軸總有兩個交點。

（2）設x₁、x₂是的兩個根，則，，因兩交點的距離是，所以。

即：

變形為：

所以：

整理得：

解方程得：

又因為：a<0

所以：a=－1

所以：此二次函數的解析式為

（3）設點P的坐標為，因為函數圖象與x軸的兩個交點間的距離等于，所以：AB=

所以：S_△PAB=

所以：

即：，則

當時，，即

解此方程得：=－2或3

當時，，即

解此方程得：=0或1

綜上所述，所以存在這樣的P點，P點坐標是(－2,3), (3,3), (0, －3)或(1, －3)。