Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD中，DB⊥BC，DB平分∠ADC，點E為邊CD的中點，AB⊥BE．

（1）求證：BD2＝ADDC；

（2）連結AE，當BD＝BC時，求證：ABCE為平行四邊形．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據直角三角形的性質得到BE=DE，由等腰三角形的性質得到∠DBE=∠BDE，根據角平分線的定義得到∠ADB=∠BDE，等量代換得到∠ADB=∠DBE，根據平行線的判定定理得到AD∥BE，根據相似三角形的性質即可得到結論；（2）由已知條件得到△BDC是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得到∠BDC=45°，求得∠ADE=90°，推出四邊形ADEB是矩形，根據矩形的性質得到AB=DE,AE=BD,即可得到結論

（1）證明：∵DB⊥BC，點E為邊CD的中點，

∴BE＝DE，

∴∠DBE＝∠BDE，

∵DB平分∠ADC，

∴∠ADB=∠BDE∴∠ADB＝∠DBE，

∴AD∥BE，

∵AB⊥BE，

∴∠A＝∠ABE＝90°，

∵∠DBC＝90°，

∴∠A＝∠DBC，

∴△ADB∽△BDC，

∴，

∴BD2＝ADDC；

（2）解：∵BD＝BC，

∴△BDC是等腰直角三角形，

∴∠BDC＝45°，

∴∠ADE＝90°，

∴四邊形ADEB是矩形，

∴AB＝DE，AE＝BD，

∴AB＝CE，AE＝BC，

∴四邊形ABCE為平行四邊形．