Question

【題目】定義：若存在實數對坐標(x,y)同時滿足一次函數y=px+q和反比例函數y=，則二次函數y=px2+qxk為一次函數和反比例函數的“聯姻”函數．
(1)試判斷(需要寫出判斷過程)：一次函數y=x+3和反比例函數y=是否存在“聯姻”函數，若存在，寫出它們的“聯姻”函數和實數對坐標．
(2)已知：整數m，n，t滿足條件t<n<8m，并且一次函數y=(1+n)x+2m+2與反比例函數y=存在“聯姻”函數y=(m+t)x2+(10mt)x2015，求m的值．
(3)若同時存在兩組實數對坐標[x1,y1]和[x2,y2]使一次函數y=ax+2b和反比例函數y=為“聯姻”函數，其中，實數a>b>c，a+b+c=0，設，求L的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)存在，實數對坐標為(1,2)，(2,1)；(2) m=2；(3) <L<2．

【解析】

(1)只需將y=x+3與y=組成方程組，并求出該方程組的解即可解決問題；
(2)根據題意得，解得.然后根據t<n<8m求出n的取值范圍，進而求出m的取值范圍，就可求出整數m的值；
(3)由a>b>c，a+b+c=0可得a>0，c<0，a>ac，ac>c，即可得到(2b)24ac>0，2<<12，由題可得x1+x2=2ba，x1x2=，從而得到

===2，利用二次函數的增減性并結合2<<即可得到L的取值范圍．

(1)聯立，
解得或．
則一次函數y=x+3和反比例函數y=存在“聯姻”函數，它們的“聯姻”函數為y=x2+3x2，實數對坐標為(1,2)，(2,1)；
(2)根據題意得：，
解得．
∵t<n<8m，
∴
解得6<n<24，
∴9<n+3<27，
∴1< <3，
∴1<m<3．
span>∵m是整數，
∴m=2；
(3)∵a>b>c，a+b+c=0，
∴a>0，c<0，a>ac，ac>c，
∴(2b)24ac>0，2<<
∴方程ax2+2bx+c=0有兩個不相等的實根．
由題可得：x1、x2是方程ax+2b=cx即ax2+2bx+c=0的兩個不等實根．
∴x1+x2=，x1x2=，
∴L= L=|x1x2|=

=
==
=

=，
∵2<<，
∴<L<2．