Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點E為CD上一點，將△BCE沿BE翻折后點C恰好落在AD邊上的點F處，將線段EF繞點F旋轉，使點E落在BE上的點G處，連接CG.

(1)證明：四邊形CEFG是菱形；

(2)若AB=8，BC=10，求四邊形CEFG的面積；

(3)試探究當線段AB與BC滿足什么數量關系時，BG=CG，請寫出你的探究過程．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）20；（3）

【解析】試題分析：（1）由折疊得到EF=CE，∠FEG=∠CEG，再加上公共邊GE，利用SAS可得出△EFG≌△ECG，利用全等三角形的對應邊相等可得出GF=CG，再由FG是線段EF旋轉得到的，故FG=EF，等量代換可得出四邊形EFGC四條邊相等，進而確定出此四邊形為菱形；（2）連接FC，與GE交于點O，由折疊得到BF=BC=10，連接FC，交GE于O點，在Rt△ABF中，根據勾股定理求得AF =6，即可得FD=4，設EC=x，則DE=8-x，EF=x，在Rt△FDE中利用勾股定理列出方程42+（8-x）2=x2，解方程得EC=5；在Rt△FDC中根據勾股定理求得FC=4 ；在菱形FGCE中FO=FC=2，EO=GE，GE⊥FC，在在Rt△FOE中求得EO=，即可得GE=2EO=2，從而根據菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半即可求得菱形的面積；（3）當線段AB與BC滿足時，BG=CG，理由為：在Rt△ABF中，利用特殊角的三角函數值及銳角三角函數定義求出∠ABF的度數，進而確定出∠FBC的度數，再由折疊得到∠FBE=∠EBC，求出∠EBC為30°，可得出∠BEC為60°，再由GC=CE得到△CGE為等邊三角形，再由30°所對的直角邊EC等于斜邊BE的一半，得到GE為BE的一半，即G為BE的中點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到CG與BG相等都為BE的一半．

試題解析：

（1）根據翻折的方法可得：EF=EC，∠FEG=∠CEG，

在△EFG和△ECG中，

∵ ，

∴△EFG≌△ECG（SAS），

∴FG=GC，

∵線段FG是由EF繞F旋轉得到的，

∴EF=FG，

∴EF=EC=FG=GC，

∴四邊形FGCE是菱形；

（2）連接FC，交GE于O點，

根據折疊可得：BF=BC=10，

∵AB=8，

在Rt△ABF中，

根據勾股定理得：AF= =6，

∴FD=AD-AF=10-6=4，

設EC=x，則DE=8-x，EF=x，

在Rt△FDE中：FD2+DE2=EF2，即42+（8-x）2=x2，

解得：x=5，

在Rt△FDC中：FD2+DC2=CF2，

則：42+82=FC2，

解得：FC=4 ，

∵四邊形FGCE是菱形，

∴FO=FC=2，EO=GE，GE⊥FC，

在Rt△FOE中：FO2+OE2=EF2，即（2）2+EO2=52，

解得：EO=，

∴GE=2EO=2，

則S菱形CEFG=×FC×GE=×4×2=20；

（3）當時，BG=CG，理由為：

由折疊可得：BF=BC，∠FBE=∠CBE，

∵在Rt△ABF中， ，

∴cos∠ABF= ，即∠ABF=30°，

又∵∠ABC=90°，

∴∠FBC=60°，EC=BE，

∴∠FBE=∠CBE=30°，

∵∠BCE=90°，

∴∠BEC=60°，

又∵GC=CE，

∴△GCE為等邊三角形，

∴GE=CG=CE=BE，

∴G為BE的中點，

則CG=BG=BE．