Question

【題目】湘一“追逐夢想”數學興趣小組編了一個“詩·遠方”的計算程序，規定：輸入數據，時，若輸出的是代數式稱為“詩”，若輸出的是等式稱為“遠方”.

回答下列問題：

(1)當輸入正整數，時，得到“遠方”和“詩”，若“遠方”為，求證“詩”：是完全平方式.(溫馨提示：對于一個整式，如果存在另一個整式，使的條件，則稱是完全平方式，比如，是完全平方式.)

(2)當輸入，時，求“遠方”：的，的正整數解.

(3)若正數，互為倒數，求“詩”：的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2），的正整數解為6和3；（3）2-2.

【解析】

（1）把代入即可證明；

（2）把進行因式分解得到，再根據，為正整數得到x+1=7,x+y-2=7，即可求解；

（2）把化為，得到x+2y取最小值時，S有最小值，得到，再根據正數，互為倒數即可求解.

（1）∵

∴=2x+2y+2=2x+x2-1+2=x2+2x+1=(x+1)2,為完全平方式；

（2）∵

∵，都是正整數

∴或

解得或（舍去）

∴，的正整數解為6和3；

（3）∵正數，互為倒數，∴xy=1

=

=

=

=1-

當x+2y取最小值時，S有最小值，

∵=2，即x=，y=

此時S=1-=1+2-3=2-2.