Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知拋物線經過點和，其頂點為C．

（1）求拋物線的解析式和頂點C的坐標；

（2）我們把坐標為（n，m）的點叫做坐標為（m，n）的點的反射點，已知點M在這條拋物線上，它的反射點在拋物線的對稱軸上，求點M的坐標；

（3）點P是拋物線在第一象限部分上的一點，如果∠POA=∠ACB，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1），頂點C的坐標為：（1,4）；（2）點M的坐標為（，1）或（，1）；（3）點P的坐標為（，）.

【解析】

（1）將點和代入即可求出；

（2）設點M的坐標為（n，m），則其反射點的坐標為（m，n），根據點M的反射點在拋物線的對稱軸上得到m=1，即M(n，1)，將點M坐標代入解析式求出n即可得到坐標；

（3）根據點和求出AB=，過點C作CM⊥y軸與M，根據C(1，4)，求出CM=BM=1，推出∠ABC=90°，，設點P的坐標為（x， ），過點P作PF⊥x軸于F，則∠OFP=∠ABC=90°，證明△POF∽△CAB，列關系式求出x即可得到點P的坐標.

（1）將點和代入得

，解得，

∴=，

∴頂點C的坐標為：（1,4）；

（2）設點M的坐標為（n，m），則其反射點的坐標為（m，n），

∵點M的反射點在拋物線的對稱軸上，

∴m=1，即M(n，1)，

代入中，得，

∴，

∴點M的坐標為（，1）或（，1）；

（3）∵點和，

∴OA=OB=3，

∴AB=，

∴∠ABO=∠BAO=45°，

過點C作CM⊥y軸與M，

∵C(1，4)，

∴CM=BM=1，

∴∠CBM=∠BCM=45°，

∴∠ABC=90°，

∴，

設點P的坐標為（x， ），

過點P作PF⊥x軸于F，則∠OFP=∠ABC=90°，

∵∠POA=∠ACB，

∴△POF∽△CAB，

∴,

∴，

解得x=或x=（不合題意，舍去），

∴=，

∴點P的坐標為（，）.