Question

17．如圖，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，已知A（0，2）、C（5，0）．
（1）如圖①，求點B的坐標；
（2）如圖②，BF在△ABC的內部且過B點的任意一條射線，過A作AM⊥BF于M，過C作CN⊥BF于N點，寫出BN-NC與AM之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）作BD⊥y軸，根據AAS可證明△ABD≌△COA，則BD=OA，AD=OC，即可求出點B的坐標；
（2）BN-NC=2AM，如圖②，在BN上截取BG=CN，連接AG，AN，證明△ABG≌△ANC，得到AN=AG，∠CAN=∠BAG，再證明GN=2AM，所以BN-NC=BN-BG=GN=2AM．

解答 解：（1）如圖1，作BD⊥y軸，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴AB=AC，∠BAD+∠OAC=90°，
∵∠OCA+∠OAC=90°，
∴∠BAD=∠OCA，
在△ABD和△COA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AOC=9{0}^{°}}\\{∠BAD=∠OCA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△COA（AAS），
∴OA=BD，OC=AD，
∵A（0，2），C（5，0），
∴OA=2，OC=5，
∴BD=2，AD=5，
∴BD=2，OD=3，
∴B（-2，-3）．
（2）BN-NC=2AM，
如圖②，在BN上截取BG=CN，連接AG，AN，

∵∠BAC=∠ANC=90°，
∴B，A，N，C四點共圓，
∴∠ANB=∠ACB=45°，∠ACN=∠ABN，
在△ABG和△ANC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=CN}\\{∠ACN=∠ABN}\\{AC=AB}\end{array}\right.$
∴△ABG≌△ANC，
∴AN=AG，∠CAN=∠BAG，
∵∠ANB=45°，
∴∠ANC=135°，
∴∠NAC+∠ACN=45°，
∴∠ABM+∠BAG=45°，
∴∠AGN=∠ANB=45°，
∴AG=AN，∠GAN=90，且AM⊥MN，
∴AM=MN=MG，
∴GN=2AM，
∴BN-NC=BN-BG=GN=2AM．

點評 本題考查了全等三角形的性質與判定定理，解決本題的關鍵是△ABD≌△COA，△ABG≌△ANC．