Question

【題目】如圖拋物y＝﹣與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．C，D兩點關于拋物線對稱軸對稱，連接BD交y軸于點E，拋物線對稱軸交x軸于點F．

（1）點P為線段BD上方拋物線上的一點，連接PD，PE．點M是y軸上一點，過點M作MN⊥y軸交拋物線對稱軸于點N．當△PDE面積最大時，求PM+MN+NF的最小值；

（2）如圖2，在（1）中PM+MN+NF取得最小值時，將△PME繞點P順時針旋轉120°后得到△PM′E′，點G是MN的中點，連接M′G交拋物線的對稱軸于點H，過點H作直線l∥PM，點R是直線l上一點，在平面直角坐標系中是否存在一點S，使以點M′，點G，點R，點S為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點S的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）PM+MN+NF的最小值＝；（2）存在，點S的坐標為：S1（，），S2（，）．

【解析】

（1）待定系數法求直線BD解析式，再根據二次函數最大值方法求△PDE面積最大時對應的點P坐標，最后依據兩點之間線段最短求PM+MN+NF的最小值；
（2）由旋轉求點M′坐標，待定系數法求直線PM解析式、直線M′G以及直線l的解析式，依據矩形性質分類討論求R坐標，再根據平移規律求相應的S坐標．

（1）在拋物線y＝﹣x2-中，令x＝0，得：y＝，令y＝0，得：

x1＝﹣3，x2＝1

∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，）,

∵y＝﹣x2＝，

∴拋物線對稱軸為：直線x＝﹣1

∴D（﹣2，），

設直線BD解析式為y＝kx+b，將B（1，0），D（﹣2，）代入得 ，

解得：

∴直線BD解析式為y＝-x+

∴E（0，），

過點P作PG⊥x軸于G交BD于H，作PQ⊥BD于Q，連接CD，

設P（m，-m2- +），H（m，-m+）

PH＝-m2- +

∵PG∥y軸

∴∠PHD＝∠DEC，

∵C、D關于直線x＝﹣1對稱，

∴∠DCE＝∠PQE＝90°

∴△DCE∽△HQP

∴，即：PQDE＝DCPH，

∴S△PDE＝PQDE＝DCPH＝×2（-m2- +）

＝-，

∵-＜0,

∴當m＝﹣時，S△PDE的最大值＝，此時，P（﹣，），

過點F作∠NFS＝60°，過N作∠FNS＝30°，FS與NS交于點S，如圖，

∴∠FSN＝90°，

∴NS＝NFcos∠FNS＝NFcos30°＝NF，過M作MK∥NS，且MK＝NS，

當P、M、K三點共線時，PM+MK最小，

∴∠PMC＝∠KME＝∠FNS＝30°

∴PM＝2PL＝1，LM＝，MK＝NS＝NF＝（﹣）＝，MN＝1

∴PM+MN+NF的最小值＝1+1+＝.

（2）如圖:

由（1）知：P（﹣，），M（0，），可求得直線PM解析式為：y＝-x+，

∵∠PML＝30°，∠PLM＝90°，∴∠LPM＝60°

∵∠MPM′＝120°，PM′＝PM＝1

∴M′、P、L三點共線，∴M′（-，），

∵點G是MN的中點，

∴G（-，），待定系數法可求得直線M′G的解析式為：y＝-，令x＝﹣1，得y＝

∴H（﹣1，），∵直線l∥PM且過點H，

∴直線l的解析式為：y＝-x，設R（t，-t），∵以點M′，點G，點R，點S為頂點的四邊形是矩形

∴可以分兩種情形：M′G為邊或M′G為對角線

①M′G為邊，∠RM′G＝90°時

∴M′R2+M′H2＝RH2，即：(t+ ＝（t+1）2+(-t-)2

解得：t＝-，

∴R（﹣， ），由平移可得S1（-，），

②M′G為邊，∠M′GR＝90°時

∴GR2+HG2＝HR2，即：(t+＝（t+1）2+(-t-)2，

解得：t＝-，

∴R（-，），由平移可得S2（-，）,

③M′G為對角線，∠M′RG＝90°

∴M′R2+RG2＝M′G2，即：(t+)2+(--)2+(t+)2+(- ＝(- ，無解；

綜上所述，點S的坐標為：S1（-），S2（-）．