Question

【題目】一段拋物線C：y＝﹣x2+3x+m（0≤x≤3）與直線y＝x+1有唯一公共點，若m為整數，則符合條件的所有m的值的和為_____．

Answer 1

【答案】9

【解析】

分兩種情況進行討論，①當拋物線與直線相切，△=0求得m=0，②當拋物線與直線不相切，但在0≤x≤3上只有一個交點時，找到兩個臨界值點，可得m=2，3，4，故m=0，2，3，4，然后求得它們的和即可．

解：∵拋物線C：y＝﹣x2+3x+m（0≤x≤3）與直線y＝x+1有唯一公共點

∴①如圖1，拋物線與直線相切，

聯立解析式得x2﹣2x+1﹣m＝0

△＝（﹣2）2﹣4（1﹣m）＝0

解得m＝0

②如圖2，拋物線與直線不相切，但在0≤x≤3上只有一個交點

此時兩個臨界值分別為（0，1）和（3，4）在拋物線上，

∴m的最小值＝1，但取不到，c的最大值＝4，能取到，

∴1＜m≤4，

又∵m為整數，

∴m＝2，3，4，

綜上，m＝0，2，3，4，

0+2+3+4＝9，

故答案為9．