Question

18．新定義：我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．如圖所示，△ABC中，AF、BE是中線，且AF⊥BE，垂足為P，像△ABC這樣的三角形稱為“中垂三角形”，如果∠ABE=30°，AB=4，那么此時AC的長為2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根據三角形中位線的性質，得到EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB=2，再由勾股定理得到結果．

解答 解：如圖，連接EF，
∵AF、BE是中線，
∴EF是△CAB的中位線，
可得：EF=$\frac{1}{2}$×4=2，
∵EF∥AB，
∴△PEF～△ABP，
∴$\frac{PF}{AP}$=$\frac{PE}{PB}$=$\frac{EF}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
在Rt△ABP中，
AB=4，∠ABP=30°，
∴AP=2，PB=2$\sqrt{3}$，
∴PF=1，PE=$\sqrt{3}$，
在Rt△APE中，
∴AE=$\sqrt{7}$，
∴AC=2$\sqrt{7}$，
故答案為：$2\sqrt{7}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，熟練應用相似三角形的判定與性質是解題關鍵．