Question

【題目】如圖，已知直線與坐標軸交于，兩點，點是軸正半軸上一點，并且，點是線段上一動點（不與端點重合），過點作軸，交于．

（1）求所在直線的解析式；

（2）若軸于，且點的坐標為，請用含的代數式表示與的長；

（3）在軸上是否存在一點，使得為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）存在滿足條件的點，其坐標為，或，或，．

【解析】

（1）由直線可求得、坐標，再結合，則可求得點坐標，利用待定系數法可求得直線的解析式；

（2）根據直線解析式可求得點的縱坐標，即可表示出的長，由軸則可得出點縱坐標，代入直線解析式可求得點橫坐標，從而可表示出的長；

（3）設，當時，則有，則可得到關于x的方程，可求得點坐標；當時，則有，可求得點坐標；當時，過作，由等腰直角三角形的性質可知，可求得點坐標，從而可求得點坐標．

解：

（1）在中，令可得，令可求得，

，，

，，

，

，即，解得，

，

設直線解析式為，

，解得，

直線解析式為；

（2）軸，且，

點橫坐標為，

在中，令，可得，

，

軸，

點縱坐標為，

在中，令，可得，解得，

在線段上，

；

（3）假設存在滿足條件的點，設其坐標為，

為等腰直角三角形，

有、和三種情況，

①當時，則有，

由（2）可得，，

，解得，

，；

②當時，則有，

在中，令可得，

，

在中，令，可得，解得，

，

，解得，

，；

③當時，如圖，過作于點，則，

由（2）可知，，

，解得，

，，

，

，；

綜上可知存在滿足條件的點，其坐標為，或，或，．