Question

【題目】正方形ABCD中，點E是邊AD的中點．連接BE，在BE上找一點F，連接AF，將AF繞點A順時針旋轉90°到AG，點F與點G對應．AG、BD延長線交于點H．若AB=4，當F、E、G三點共線時，求S△BFH=_____．

Answer 1

【答案】

【解析】試題解析：如圖所示，連接DG，過H作HP⊥BG，交BG的延長線于P，

AF繞點A順時針旋轉90°到AG，則AF=AG，∠FAG=90°，

即△AFG是等腰直角三角形，

又∵AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAF=∠DAG，

∴△ABF≌△ADG，

∴BF=DG，∠AFB=∠AGD，

∵Rt△ABE中，AB=4，AE=2，

∴BE=2，

∵∠AFG=∠AGF=45°，

∴∠AFB=135°=∠AGD，

∴∠DGE=135°﹣45°=90°，即DG⊥BE，

∵×BE×DG=×DE×AB，

∴DG=，

∴Rt△BDG中，BG=，

∵∠HGP=∠AGF=45°，∠P=90°，

∴△GPH為等腰直角三角形，

設PH=x，則PG=x，

∵DG∥PH，

∴△BDG∽△BHP，

∴，即，

解得x=，

∴PH=，

又∵BF=DG=，

∴S△BFH=BF×PH=××=．

故答案為： ．