Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知拋物線經過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），拋物線對稱軸l與x軸相交于點M．

（1）求拋物線的解析式和對稱軸；
（2）點P在拋物線上，且以A、O、M、P為頂點的四邊形四條邊的長度為四個連續的正整數，請你直接寫出點P的坐標；
（3）連接AC．探索：在直線AC下方的拋物線上是否存在一點N，使△NAC的面積最大？若存在，請你求出點N的坐標；若不存在，請你說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根據已知條件可設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣5），

把點A（0，4）代入上式得：a= ，

∴y= （x﹣1）（x﹣5）= x2﹣ x+4= （x﹣3）2﹣ ，

∴拋物線的對稱軸是：x=3

（2）

解：P點坐標為：（6，4），

由題意可知以A、O、M、P為頂點的四邊形有兩條邊AO=4、OM=3，

又∵點P的坐標中x＞5，

∴MP＞2，AP＞2；

∴以1、2、3、4為邊或以2、3、4、5為邊都不符合題意，

∴四條邊的長只能是3、4、5、6的一種情況，

在Rt△AOM中，AM= = =5，

∵拋物線對稱軸過點M，

∴在拋物線x＞5的圖象上有關于點A的對稱點與M的距離為5，

即PM=5，此時點P橫坐標為6，即AP=6；

故以A、O、M、P為頂點的四邊形的四條邊長度分別是四個連續的正整數3、4、5、6成立，

即P（6，4）

（3）

解：在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．

設N點的橫坐標為t，此時點N（t， t2﹣ t+4）（0＜t＜5），

過點N作NG∥y軸交AC于G；作AM⊥NG于M，

由點A（0，4）和點C（5，0）可求出直線AC的解析式為：y=﹣ x+4；

把x=t代入得：y=﹣ t+4，則G（t，﹣ t+4），

此時：NG=﹣ x+4﹣（ t2﹣ t+4）=﹣ t2+4t，

∵AM+CF=CO，

∴S△ACN=S△ANG+S△CGN= AM×NG+ NG×CF= NGOC= （﹣ t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣ ）2+ ，

∴當t= 時，△CAN面積的最大值為 ，

由t= ，得：y= t2﹣ t+4=﹣3，

∴N（ ，﹣3）．

【解析】（1）拋物線經過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用兩點式法設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函數的解析式，則可求得拋物線的對稱軸；（2）由已知，可求得P（6，4），由題意可知以A、O、M、P為頂點的四邊形有兩條邊AO=4、OM=3，又知點P的坐標中x＞5，所以MP＞2，AP＞2；因此以1、2、3、4為邊或以2、3、4、5為邊都不符合題意，所以四條邊的長只能是3、4、5、6的一種情況，則分析求解即可求得答案；（3）在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．設N點的橫坐標為t，此時點N（t， t2﹣ t+4）（0＜t＜5），再求得直線AC的解析式，即可求得NG的長與△ACN的面積，由二次函數最大值的問題即可求得答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．