Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠CAB＝30°，AB＝4.5cm．D是線段AB上的一個動點，連接CD，過點D作CD的垂線交CA于點E．設AD＝xcm，CE＝ycm．（當點D與點A或點B重合時，y的值為5.2）

探究函數y隨自變量x的變化而變化的規律．

（1）通過取點、畫圖、測量，得到了x與y的幾組對應值，如下表：

x/cm	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5
y/cm	5.2	4.8	4.4	4.0	3.8	3.6	3.5	3.6		5.2

（要求：補全表格，相關數值保留一位小數）

（2）建立平面直角坐標系xOy，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數的圖象；

（3）結合畫出的函數圖象，解決問題：當CE＝2AD時，AD的長度約為　 　cm（結果保留一位小數）．

Answer 1

【答案】（1）4.0；（2）見解析；（3）1.9．

【解析】

（1）如圖，作輔助線：過E作EF⊥AB于F，證明△EFD∽△DBC，列比例式可得結論；

（2）描點畫圖即可；

（3）根據△EFD∽△DBC，列比例式，解方程可得結論．

解：（1）如圖1，過E作EF⊥AB于F，

由表格可知：AC＝5.2，AB＝4.5，

Rt△ACB中，∠A＝30°，

∴BC＝AC＝2.6，

當x＝4時，即AD＝4，

∴BD＝0.5，

∵∠EDC＝90°，

易得△EFD∽△DBC，

∴＝＝，

設EF＝5a，FD＝26a，則AE＝10a，AF＝5a，

∵AD＝4，

∴5a+26a＝4，

a＝，

∴y＝AC﹣AE＝5.2﹣10×＝5.2﹣≈4.0；

x/cm	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5
y/cm	5.2	4.8	4.4	4.0	3.8	3.6	3.5	3.6	4.0	5.2

故答案為：4.0；

（2）如圖2所示：

（3）設EF＝a，則AE＝2a，AF＝a，

由（1）知：△EFD∽△DBC，

∴ ，即＝，

∵AC＝2a+y＝5.2，

當CE＝2AD時，y＝2x，則2a+2x＝5.2，即a+x＝2.6，

∴a＝2.6﹣x，

∴2.6（2.6﹣x）＝（4.5﹣x）[x﹣（2.6﹣x）]，

整理得：2.73x2﹣19.383x+27.001＝0，

解得：x1≈5.2（舍），x2≈1.9，

故AD的長度約為1.9cm.