Question

【題目】如圖，二次函數(其中)的圖像與軸交于、兩點，與軸交于點．

(1)點的坐標為　　，　　；

(2)若為的外心，且與的面積之比為，求的值；

(3)在(2)的條件下，試探究拋物線上是否存在點，使得，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）存在，或

【解析】

（1）令，結合點A在x軸的負半軸，即可得到點A、B的坐標；然后求出點C的坐標，得到，即可得到答案；

（2）由點D是外心，則，得到為等腰直角三角形，則，利用相似三角形的性質，即可得到答案；

（3）根據題意，可分為兩種情況進行分析，分別求出每一種情況的坐標，即可得到答案．

解：（1）令，則，

解得：，.

，.

令，則，

，

.

，

為等腰直角三角形，且；

（2）為的外心，

，且.

為等腰直角三角形.

.

.

，

.

（3）存在，點的坐標為或，過程如下：

，

，

，且拋物線的對稱軸為直線.

作的外接圓，設與的另一個交點為.

為的外心，

，且在上.

點與點關于對稱，

.

易證，

.

即為滿足條件的一個點.

在軸上取點，易證，

.

，，

.

由

解得：或

.

綜合上述，點的坐標為或．