Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于兩點，于軸交于點，連接，已知．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點是線段上一動點，過點P作軸，交拋物線于點D，求的長的最大值；

（3）若點E是軸上一點，以為頂點的三角形是腰三角形，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點的坐標為或或或

【解析】

（1）把A，B兩點坐標代入求出a，c的值即可得出結論；

（2）求出直線BC的解析式為，設設，則，從而得到，進而得到結論；

（3）分BC為底邊或腰進行求解即可．

解：（1）把，分別代入，得

解得

∴拋物線的解析式為．

（2）由（1）知，拋物線的解析式為，

當時，，

∴．

設直線BC的解析式為，

把，分別代入，

得

解得

∴直線BC的解析式為．

∵點在線段BC上，點D在拋物線上，軸，

∴設，則，

∴．

∴當，即時，PD的長的值最大，

PD的長的最大值為．

（3）在中，，根據勾股定理，得

．

①若，則點是BC的垂直平分線與軸的交點，

點E與原點O重合，

∴．

②若，則，點E與點C關于原點對稱，

∴．

③若，則或．

設點，則．

∴．

∴．

綜上所述，以，，為頂點的三角形是等腰三角形時，點的坐標為或或或．