Question

12．從-2，-$\frac{3}{2}，-1，-\frac{1}{2}$，0，3，4這七個數中，隨機取出一個數，記為k，那么k使關于x的函數y=kx²-6x+3與x軸有交點，且使關于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}4x-2＞3x\\ x＜\frac{1}{2}k+6\end{array}$有且只有3個整數解的概率為$\frac{4}{7}$．

Answer 1

分析 由使關于x的函數y=kx²-6x+3與x軸有交點，且使關于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}4x-2＞3x\\ x＜\frac{1}{2}k+6\end{array}$有且只有3個整數解，可得出k的范圍，再找出在該范圍內數有幾個，最后利用等可能概率公式求出結果．

解答 解：①當k≠0時，
∵關于x的函數y=kx²-6x+3與x軸有交點，
∴△=6²-4×k×3=36-12k≥0，解得k≤3，
關于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}4x-2＞3x\\ x＜\frac{1}{2}k+6\end{array}$可變形為2＜x＜$\frac{1}{2}$k+6，
若其有且只有3個整數解，則必為3、4、5，
即5＜$\frac{1}{2}$k+6≤6，解得-2＜k≤0，
在-2，-$\frac{3}{2}，-1，-\frac{1}{2}$，0，3，4這七個數中，滿足-2＜k≤0且k≠0的有-$\frac{3}{2}，-1，-\frac{1}{2}$三個數；
②當k=0時，原函數為y=-6x+3與x軸有交點，
結合①可知k=0也符合條件．
故取出滿足題中條件數的概率P=$\frac{4}{7}$．
故答案為：$\frac{4}{7}$．

點評 本題考查了解一元一次不等式組的整數解、根的判別式以及概率公式，解題的關鍵是根據使關于x的函數y=kx²-6x+3與x軸有交點，且使關于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}4x-2＞3x\\ x＜\frac{1}{2}k+6\end{array}$有且只有3個整數解，找出k的大致范圍．