Question

3．如圖，拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OB=OC=3OA．直線y=-$\frac{1}{3}$x+1過點B且與y軸交于點D，E為拋物線頂點．若∠DBC=α，∠CBE=β，
（1）求拋物線對應的方程；
（2）求α-β的值．

Answer 1

分析 （1）易得點C坐標，根據OB=OC=3OA可得點A，B坐標，代入二次函數解析式即可．
（2）可求得E，D坐標，得到△BCE的形狀，進而可把∠CBE轉移為∠DBO，求解．

解答 解：（1）拋物線y=ax²+bx-3與y軸交于點C（0，-3），
∵OB=OC=3OA，
∴A（-1，0），B（3，0），代入y=ax²+bx-3，
得$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，
∴y=x²-2x-3．

（2）由y=-$\frac{1}{3}$x+1，得D（0，1）
由y=x²-2x-3得到頂點E（1，-4），
∴BC=3$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{2}$，BE=2$\sqrt{5}$，
∵BC²+CE²=BE²，
∴△BCE為直角三角形．
∴tanβ=$\frac{CE}{CB}$=$\frac{1}{3}$．
又∵Rt△DOB中，tan∠DBO=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{1}{3}$．
∴∠DBO=∠β，
∠α-∠β=∠α-∠DBO=∠OBC=45°．

點評 此題考查了二次函數的綜合題，關鍵是熟練掌握待定系數法求二次函數解析式、勾股定理的逆定理、三角函數等重要知識．綜合性較強，難度中等．