Question

【題目】如圖，DC是⊙O的直徑，點B在圓上，直線AB交CD延長線于點A，且∠ABD=∠C．

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）若AB=4cm，AD=2cm，求tanA的值和DB的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）tanA=；DB的長為．

【解析】

（1）連結OB，由等腰三角形的性質和圓周角定理證出∠CDB+∠C=90°，再由已知條件得出∠OBD+∠ABD=90°，得出∠OBA=90°即可；

（2）設半徑為r，則OA=x+2，在Rt△AOB中，根據勾股定理得出方程，解方程求出半徑，由三角函數求出得出tanA==，證明△ADB∽△ACB，得出=，設DB=x，則BC=2x，由勾股定理得出方程，解方程即可．

（1）證明：連結OB，如圖所示：

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠OBD，

∵DC是⊙O的直徑，

∴∠DBC=90°，

∴∠CDB+∠C=90°，

∵∠ABD=∠C，

∴∠OBD+∠ABD=90°，

即∠OBA=90°，

∴OB⊥AB，

∴AB是⊙O的切線；

（2）解：設半徑為r，則OA=x+2，

在Rt△AOB中，根據勾股定理得：x2+42=（x+2）2，

解得：r=3，

∴tanA==，

∵∠A=∠A，∠ABD=∠C，

∴△ADB∽△ACB，

∴==，

設DB=x，則BC=2x，

∵CD=6，

∴由勾股定理得：x2+（2x）2=62，

解得：x=，

即DB的長為．