Question

【題目】如圖，在平行四邊形 ABCD 中，過點 A 作 AE⊥DC 交 DC 的延長線于點 E，過點 D 作DF // EA 交 BA 的延長線于點 F．

（1）求證：四邊形 AEDF 是矩形；

（2）連接BD，若 AB=AE=2，tan FAD ，求 BD 的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析，（2）．

【解析】

（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥DC，DF⊥BA，易證得四邊形AEDF是平行四邊形，繼而證得四邊形AEDF是矩形；

（2）由四邊形AEDF是矩形，可得在Rt△AFD中tan∠FAD== ，繼而求得BF的長，然后由勾股定理求得答案．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC，即AF∥ED，

∵AE⊥DC，DF⊥BA，

∴DF∥EA， ∴四邊形AEDF是平行四邊形，

∵AE⊥DE， ∴∠E=90°，

∴四邊形AEDF是矩形；

（2）如圖，連接BD， ∵四邊形AEDF是矩形，AB=AE=2

∴FD=AE=2，∠F=90°，

∵在Rt△AFD中，tan∠FAD==，

AF=5，

AB=2， ∴BF=AB+AF=7，

在Rt△BFD中，BD=．