Question

知識背景:杭州留下有一處野生古楊梅群落,其野生楊梅是一種具特殊價值的綠色食品.在當地市場出售時,基地要求“楊梅”用雙層上蓋的長方體紙箱封裝(上蓋紙板面積剛好等于底面面積的2倍,如圖)

（1）實際運用:如果要求紙箱的高為0.5米,底面是黃金矩形(寬與長的比是黃金比,取黃金比為0.6),體積為0.3立方米.
①按方案1(如圖)做一個紙箱,需要矩形硬紙板的面積是多少平方米？
②小明認為,如果從節省材料的角度考慮,采用方案2(如圖)的菱形硬紙板做一個紙箱比方案1更優,你認為呢？請說明理由.
（2）拓展思維:城西一家水果商打算在基地購進一批“野生楊梅”,但他感覺（1）中的紙箱體積太大,搬運吃力,要求將紙箱的底面周長、底面面積和高都設計為原來的一半,你認為水果商的要求能辦到嗎？請利用函數圖象驗證.

Answer 1

解:（1）設紙箱底面的長為x,則寬為0.6x,
根據題意得,0.6x²×0.5＝0.3,即x＝1.
①＝(1＋0.5×4)×(0.6×2＋0.5×2)＝6.6(平方米).
②如圖,連接A₂C₂,B₂D₂相交于O₂,
設△D₂EH中EH邊上的高為h₁,
△A₂NM中NM邊上的高為h₂,
由△D₂EH∽△D₂MQ得
,∴h₁＝0.4,
同理得,h₂＝,
∴A₂C₂＝,B₂D₂＝3,
又四邊形A₂B₂C₂D₂是菱形.
故＝5.625(平方米)
＜,
所以方案2更優.
（2）水果商的要求不能辦到.
設底面的長與寬分別為x、y,
則x＋y＝0.8,xy＝0.3,
即y＝0.8－和y＝,其圖象如圖所示.
因為兩個函數圖象無交點,故水果商的要求無法辦到.(說明:不畫圖象,由方程的判別式判斷,不給滿分)

（1）①利用寬與長的比是黃金比，取黃金比為0.6，假設底面長為x，寬就為0.6x，再利用圖形得出QM=+0.5+1+0.5+=3，FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，進而求出即可；
②根據菱形的性質得出，對角線乘積的一半絕對小于矩形邊長乘積即可得出答案；
（2）根據相似三角形的性質面積比等于相似比的平方得出即可