Question

【題目】已知：如圖，直線y=﹣ x﹣3與坐標軸交于點A，C，經過點A，C的拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交于點B（2，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點D是拋物線在第三象限圖象上的動點，是否存在點D，使得△DAC的面積最大？若存在，請求這個最大值并求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）過點D作DE⊥x軸于E，交AC于F，若AC恰好將△ADE的面積分成1：4兩部分，請求出此時點D的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）在y=﹣ x﹣3中，當y=0時，x=﹣6，

即點A的坐標為：（﹣6，0），

將A（﹣6，0），B（2，0）代入y=ax2+bx﹣3得：

，

解得： ，

∴拋物線的解析式為：y= x2+x﹣3；

（2）

解：設點D的坐標為：（m， m2+m﹣3），則點F的坐標為：（m，﹣ m﹣3），

∴DF=﹣ m﹣3﹣（ m2+m﹣3）=﹣ m2﹣ m，

∴S△ADC=S△ADF+S△DFC

= DFAE+ DFOE

= DFOA

= ×（﹣ m2﹣ m）×6

=﹣ m2﹣ m

=﹣ （m﹣3）2+ ，

∵a=﹣ ＜0，

∴拋物線開口向下，

∴當m=3時，S△ADC存在最大值 ，

又∵當m=3時， m2+m﹣3=﹣ ，

∴存在點D（3，﹣ ），使得△ADC的面積最大，最大值為 ；

（3）

解：由題意可得△ADE的面積分成1：4兩部分即是點F將DE分成1：4兩部分

①當DF：EF=1：4時，（﹣ m2﹣ m）：（ m+3）=1：4，

解得：m1=﹣ ，m2=﹣6（不合題意，舍去），

當m=﹣ 時， m2+m﹣3=﹣ ，

∴點D的坐標為：（﹣ ，﹣ ），

②當DF：EF=4：1時，（﹣ m2﹣ m）：（ m+3）=4：1，

解得：m1=﹣6（不合題意，舍去），m2=﹣8（不合題意，舍去），

綜上所述存在點D（﹣ ，﹣ ），使得AC恰好將△ADE的面積分成1：4兩部分．

【解析】解：（1）在y=﹣ x﹣3中，當y=0時，x=﹣6，即點A的坐標為：（﹣6，0），將A（﹣6，0），B（2，0）代入y=ax2+bx﹣3得： ，
解得： ，∴拋物線的解析式為：y= x2+x﹣3；（2）設點D的坐標為：（m， m2+m﹣3），則點F的坐標為：（m，﹣ m﹣3），∴DF=﹣ m﹣3﹣（ m2+m﹣3）=﹣ m2﹣ m，∴S△ADC=S△ADF+S△DFC= DFAE+ DFOE= DFOA= ×（﹣ m2﹣ m）×6=﹣ m2﹣ m=﹣ （m﹣3）2+ ，∵a=﹣ ＜0，∴拋物線開口向下，∴當m=3時，S△ADC存在最大值 ，又∵當m=3時， m2+m﹣3=﹣ ，∴存在點D（3，﹣ ），使得△ADC的面積最大，最大值為 ；（3）由題意可得△ADE的面積分成1：4兩部分即是點F將DE分成1：4兩部分①當DF：EF=1：4時，（﹣ m2﹣ m）：（ m+3）=1：4，解得：m1=﹣ ，m2=﹣6（不合題意，舍去），當m=﹣ 時， m2+m﹣3=﹣ ，∴點D的坐標為：（﹣ ，﹣ ），②當DF：EF=4：1時，（﹣ m2﹣ m）：（ m+3）=4：1，解得：m1=﹣6（不合題意，舍去），m2=﹣8（不合題意，舍去），綜上所述存在點D（﹣ ，﹣ ），使得AC恰好將△ADE的面積分成1：4兩部分．

【考點精析】利用二次函數的最值對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．