Question

6．如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所對的優弧上的動點，連接AP，過點A作AP的垂線交射線PA于點C，當△PAB是等腰三角形時，線段BC的長為8，$\frac{56}{15}$，$\frac{8\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 由于本題的等腰三角形底和腰不確定，所以要分三種情況討論：①當BA=BP時，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半；②當AB=AP時，如圖1，延長AO交PB于點D，過點O作OE⊥AB于點E，易得△AOE∽△ABD，利用相似三角形的性質求得BD，PB，然后利用相似三角形的判定定理△ABD∽△CPA，代入數據得出結果；③當PA=PB時，如圖2，連接PO并延長，交AB于點F，過點C作CG⊥AB，交AB的延長線于點G，連接OB，則PF⊥AB，易得AF=FB=4，利用勾股定理得OF=3，FP=8，易得△PFB∽△CGB，利用相似三角形的性質可求出CG：BG的值，設BG=t，則CG=2t，利用相似三角形的判定定理得△APF∽△CAG，利用相似三角形的性質得比例關系解得t，在Rt△BCG中，得BC的長．

解答 解：①當BA=BP時，
則AB=BP=BC=8，即線段BC的長為8．
②當AB=AP時，如圖1，延長AO交PB于點D，過點O作OE⊥AB于點E，則AD⊥PB，AE=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴BD=DP，
在Rt△AEO中，AE=4，AO=5，
∴OE=3，
∵∠OAE=∠BAD，∠AEO=∠ADB=90°，
∴△AOE∽△ABD，
∴$\frac{OD}{AO}=\frac{BD}{AB}$，
∴BD=$\frac{24}{5}$，
∴BD=PD=$\frac{24}{5}$，
即PB=$\frac{48}{5}$，
∵AB=AP=8，
∴∠ABD=∠P，
∵∠PAC=∠ADB=90°，
∴△ABD∽△CPA，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{PA}{CP}$，
∴CP=$\frac{40}{3}$，
∴BC=CP-BP=$\frac{40}{3}$-$\frac{48}{5}$=$\frac{56}{15}$；
③當PA=PB時，
如圖2，連接PO并延長，交AB于點F，過點C作CG⊥AB，交AB的延長線于點G，連接OB，
則PF⊥AB，
∴AF=FB=4，
在Rt△OFB中，OB=5，FB=4，∴OF=3，
∴FP=8，
∵∠PAF=∠ABP=∠CBG，∠AFP=∠CGB=90°，
∴△PFB∽△CGB，
∴$\frac{PF}{FB}=\frac{CG}{BG}=\frac{2}{1}$，
設BG=t，則CG=2t，
∵∠PAF=∠ACG，∠AFP=∠AGC=90°，
∴△APF∽△CAG，
∴$\frac{AF}{PF}=\frac{CG}{AG}$，
∴$\frac{2t}{8+t}=\frac{1}{2}$，解得t=$\frac{8}{3}$，
在Rt△BCG中，BC=$\sqrt{5}$t=$\frac{8\sqrt{5}}{3}$，
綜上所述，當△PAB是等腰三角形時，線段BC的長為8，$\frac{56}{15}$，$\frac{8\sqrt{5}}{3}$，
故答案為：8，$\frac{56}{15}$，$\frac{8\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題主要考查了垂徑定理，相似三角形的性質及判定，等腰三角形的性質及判定，數形結合，分類討論是解答此題的關鍵．