Question

【題目】如圖，已知ABCD中，AB＝16，AD＝10，sinA＝，點M為AB邊上一動點，過點M作MN⊥AB，交AD邊于點N，將∠A沿直線MN翻折，點A落在線段AB上的點E處，當△CDE為直角三角形時，AM的長為_____．

Answer 1

【答案】4或8﹣

【解析】

①當∠CDE＝90°，如圖1，根據折疊的性質得到MN⊥AB，AM＝EM，得到AN＝DN＝AD＝5，設MN＝3x，AN＝5x＝5，于是得到AM＝4；②當∠DEC＝90°，如圖2，過D作DH⊥AB于H，根據相似三角形的性質得到，由sinA＝，AD＝10，得到DH＝6，AH＝8，設HE＝x，根據勾股定理求出x的值，繼而求得AE的值，從而得到AM的值，即可得到結論．

當△CDE為直角三角形時，

①當∠CDE＝90°，如圖1，

∵在ABCD中，AB∥CD，

∴DE⊥AB，

∵將∠A沿直線MN翻折，點A落在線段AB上的點E處，

∴MN⊥AB，AM＝EM，

∴MN∥DE，

∴AN＝DN＝AD＝5，

∵sinA＝，

∴設MN＝3x，AN＝5x＝5，

∴MN＝3，

∴AM＝4；

②當∠DEC＝90°，如圖2，

過D作DH⊥AB于H，

∵AB∥CD，

∴∠HDC＝90°，

∴∠HDC+∠CDE＝∠CDE+∠DCE＝90°，

∴∠HDE＝∠DCE，

∴△DHE∽△CED，

∴，

∵sinA＝，AD＝10，

∴DH＝6，

∴AH＝8，

設HE＝x，

∴DE＝，

∵DH2+HE2＝DE2，

∴62+x2＝16x，

∴x＝8﹣2，x＝8+2(不合題意舍去)，

∴AE＝AH+HE＝16﹣2，

∴AM＝AE＝8﹣，

綜上所述，AM的長為4或8﹣，

故答案為：4或8﹣．