Question

【題目】如圖，∠A=∠DBE=α，

（1）如圖1，若C點在射線AB上，且∠C=α，求證：；

（2）如圖2，若C在射線AB上，α=60°，∠ABD=75°，EC∥AD，EC=2AB=4，求S四邊形BCED；

（3）如圖3，若α=90°，BD平分∠ADE，EF⊥AD于F，線段BF、DE交于G，若，直接寫出的值（用含m，n的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）如圖1，證明△DAB∽△BCE，可解答；

（2）如圖2，作輔助線，構建30°的直角三角形和等腰直角三角形，分別計算BE、DH、BC和EF的長，根據S四邊形BCED=S△BDE+S△BCE可解答；

（3）如圖3，作輔助線，構建相似三角形，證明△EFD∽△HAD和△EFG∽△HBG，列比例式可解答．

（1）證明：如圖1，

∵∠A=∠DBE=α，

∴∠D+∠ABD=∠ABD+∠EBC=180°-α，

∴∠D=∠EBC，

∵∠A=∠C=α，

∴△DAB∽△BCE，

∴；

（2）解：如圖2，過B作BG⊥AD于G，過D作DH⊥BE于H，過E作EF⊥AC于F，

∵∠DAB=60°，∠ABD=75°，

∴∠ADB=180°-60°-75°=45°，

Rt△ABG中，∠ABG=30°，AB=2，

∴AG=1，BG=，

∵△BDG是等腰直角三角形，

∴BD=BG=，

∵∠DBE=α=60°，

Rt△DBH中，∠BDH=30°，

∴，

∵∠ABD=75°，∠DBE=60°，

∴∠EBF=45°，

∴△EBF是等腰直角三角形，

∵EC∥AD，

∴∠ECF=∠A=60°，

Rt△ECF中，∠CEF=30°，

∵EC=4，

∴CF=2，EF=BF=2，

∴BE=EF=2；

∴S四邊形BCED=S△BDE+S△BCE

=；

（3）解：如圖3，過B作BM⊥DE于M，過E作EC⊥AB于C，延長ED、BA交于H，

∵BD平分∠ADE，∠DAB=90°，

∴AB=BM，

∵∠DBE=α=90°，

∴∠CBE+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，

∴∠CBE=∠ADB=∠BDE，

∵∠DBE=∠C=90°，

∴∠DEB=∠CEB，

∴BM=BC，

∴BC=AB，

∵EF⊥AD，

∴∠EFA=90°，

∵∠FAC=∠C=90°，

∴四邊形FACE是矩形，

∴EF=AC，

設AB=x，則EF=2x，

∵EF∥CH，

∴△EFD∽△HAD，

∴，

∵，

∴，

∵EF∥BH，

∴△EFG∽△HBG，

∴．