Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx+3經過點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C，點P為第二象限內拋物線上的動點.

（1）拋物線的解析式為 ，拋物線的頂點坐標為 ；

（2）如圖1，連接OP交BC于點D，當S△CPD：S△BPD＝1：2時，請求出點D的坐標；

（3）如圖2，點E的坐標為（0，﹣1），點G為x軸負半軸上的一點，∠OGE＝15°，連接PE，若∠PEG＝2∠OGE，請求出點P的坐標；

（4）如圖3，是否存在點P，使四邊形BOCP的面積為8？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3，頂點坐標為（﹣1，4）；（2）點D（﹣1，2）；（3）點P（，）（4）不存在，理由見解析.

【解析】

(1)利用待定系數法可求得函數的表達式，再通過配方即可求得頂點坐標；

(2)又S△CPD：S△BPD＝1：2，可得BD＝BC＝×＝，再利用解直角三角形的知識即可求得答案；

(3)設直線PE交x軸于點H，∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，則∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，解由①②構成的方程組即可求得答案；

(4)連接BC，過點P作y軸的平行線交BC于點H，設點P(x，﹣x2﹣2x+3)，點H(x，x+3)，則S四邊形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+(﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3)×3＝8，得到關于x的一元二次方程，根據方程解的情況即可得結論.

(1)∵拋物線y＝ax2+bx+3經過點A(1，0)和點B(﹣3，0)，

∴，

∴，

∴拋物線的表達式為：y＝﹣x2﹣2x+3…①，

y＝﹣x2﹣2x+3=-(x+1)2+4，

∴頂點坐標為(﹣1，4)；

(2)設點D坐標為(xD，yD)，∵OB＝OC，∠BOC=90°，

∴∠CBO＝45°，BC=，

∵S△CPD：S△BPD＝1：2，

∴BD：DC=2：1，

∴BD＝BC＝×＝，

∴xD=-3+ BDcos∠CBO=-3+2=-1， yD＝BDsin∠CBO＝2，

∴點D(﹣1，2)；

(3)如圖2，設直線PE交x軸于點，

∵∠OGE＝15°，∠EOG=90°，

∴∠OEG=90°-15°=75°，

∵∠PEG＝2∠OGE，

∴∠PEG＝2∠OGE＝30°，

∴∠OHE＝∠OGE+∠PEG=45°，∠HEO=∠OEG-∠PEG=45°，

∴OH＝OE＝1，

∴H(-1，0)，

設直線HE的解析式為y=mx+n，把H(-1，0)、E(0，-1)分別代入得，

解得，

∴直線HE的表達式為：y＝﹣x﹣1…②，

聯立①②并解得：，(舍去)，

故點P(，)；

(4)不存在，理由：

如圖3，連接BC，過點P作y軸的平行線交BC于點H，

直線BC的表達式為：y＝x+3，

設點P(x，﹣x2﹣2x+3)，點H(x，x+3)，

則S四邊形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+(﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3)×3＝8，

整理得：3x2+9x+7＝0，

解得：△＜0，故方程無解，

則不存在滿足條件的點P.