Question

【題目】如圖，已知等邊三角形的頂點分別在反比例函數圖像的兩個分支上，點在反比例函數的圖像上，當的面積最小時，的值__________．

Answer 1

【答案】-3

【解析】

當等邊三角形ABC的邊長最小時，△ABC的面積最小，點A，B分別在反比例函數y=圖象的兩個分支上，則當A、B在直線y=x上時最短，即此時△ABC的面積最小，根據反比例函數圖象的對稱性可得OA=OB，設OA=x，則AC=2x，OC=x，根據等邊三角形三線合一可證明△AOE∽△OCF，根據相似三角形面積比等于相似比的平方可得結論．

解：根據題意當A、B在直線y=x上時，△ABC的面積最小，

函數y=圖象關于原點對稱，

∴OA=OB，

連接OC，過A作AE⊥y軸于E，過C作CF⊥y軸于F，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AO⊥OC，

∴∠AOC=90°，∠ACO=30°，

∴∠AOE+∠COF=90°，

設OA=x，則AC=2x，OC=x，

∵AE⊥y軸，CF⊥y軸，

∴∠AEO=∠OFC=∠AOE+∠OAE=90°，

∴∠COF=∠OAE，

∴△AOE∽△OCF，

∴，

∵頂點A在函數y=圖象的分支上，

∴S△AOE=，

∴S△OCF=，

∵點C在反比例函數y=（k≠0）的圖象上，

∴k=-3，

故答案為-3．