Question

解答題 解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟. 如圖，⊙O是以Rt△ABC的直角邊AC 為直徑的圓，與斜邊AB相交于點D，過D作DH⊥AC，垂足為H，又過D點作直線交BC于E，使∠HDE=2∠A 求證： (1) DE是⊙O的切線； (2) OE是Rt△ABC的中位線．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	證明：連結OD，則OD是⊙O的半徑． 　　∵　∠HDE=2∠A，∠DOH=2∠A，∴　∠HDE=∠HOD． 　　∵　DH⊥AC，∴　∠DOH+∠ODH=90° ， 　　∴　∠HDE+∠ODH=90° ，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切線．
(2)	證明：∵　DE是⊙O的切線， 　　∴　∠ODE=90° ，又OC=OD，OE=OE， 　　∴　△ODE≌△OCE，∴　∠COE=∠DOE． 　　又∵　∠COD=2∠A，∴　∠COE=∠A， 　　∴　OE∥AB，又AO=OC， 　　∴　OE是Rt△ABC的中位線．