Question

如圖所示，拋物線y=x²+bx+c經過A、B兩點，A、B兩點的坐標分別為（﹣1，0）、（0，﹣3）．

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）點E為拋物線的頂點，點C為拋物線與x軸的另一交點，點D為y軸上一點，且DC=DE，求出點D的坐標；

（3）在第二問的條件下，在直線DE上存在點P，使得以C、D、P為頂點的三角形與△DOC相似，請你直接寫出所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【專題】代數幾何綜合題．

【分析】（1）把點A、B的坐標代入拋物線解析式，解方程組求出b、c的值，即可得解；

（2）令y=0，利用拋物線解析式求出點C的坐標，設點D的坐標為（0，m），作EF⊥y軸于點F，利用勾股定理列式表示出DC²與DE²，然后解方程求出m的值，即可得到點D的坐標；

（3）根據點C、D、E的坐標判定△COD和△DFE全等，根據全等三角形對應角相等可得∠EDF=∠DCO，然后求出CD⊥DE，再利用勾股定理求出CD的長度，然后①分OC與CD是對應邊；②OC與DP是對應邊；根據相似三角形對應邊成比例列式求出DP的長度，過點P作PG⊥y軸于點G，再分點P在點D的左邊與右邊兩種情況，分別求出DG、PG的長度，結合平面直角坐標系即可寫出點P的坐標．

【解答】解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c經過A（﹣1，0）、B（0，﹣3），

∴，

解得，

故拋物線的函數解析式為y=x²﹣2x﹣3；

（2）令x²﹣2x﹣3=0，

解得x₁=﹣1，x₂=3，

則點C的坐標為（3，0），

∵y=x²﹣2x﹣3=（x﹣1）²﹣4，

∴點E坐標為（1，﹣4），

設點D的坐標為（0，m），作EF⊥y軸于點F，

∵DC²=OD²+OC²=m²+3²，DE²=DF²+EF²=（m+4）²+1²，

∵DC=DE，

∴m²+9=m²+8m+16+1，

解得m=﹣1，

∴點D的坐標為（0，﹣1）；

（3）∵點C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4），

∴CO=DF=3，DO=EF=1，

根據勾股定理，CD===，

在△COD和△DFE中，

∵，

∴△COD≌△DFE（SAS），

∴∠EDF=∠DCO，

又∵∠DCO+∠CDO=90°，

∴∠EDF+∠CDO=90°，

∴∠CDE=180°﹣90°=90°，

∴CD⊥DE，

①分OC與CD是對應邊時，

∵△DOC∽△PDC，

∴=，

即=，

解得DP=，

過點P作PG⊥y軸于點G，

則==，

即==，

解得DG=1，PG=，

當點P在點D的左邊時，OG=DG﹣DO=1﹣1=0，

所以點P（﹣，0），

當點P在點D的右邊時，OG=DO+DG=1+1=2，

所以，點P（，﹣2）；

②OC與DP是對應邊時，

∵△DOC∽△CDP，

∴=，

即=，

解得DP=3，

過點P作PG⊥y軸于點G，

則==，

即==，

解得DG=9，PG=3，

當點P在點D的左邊時，OG=DG﹣OD=9﹣1=8，

所以，點P的坐標是（﹣3，8），

當點P在點D的右邊時，OG=OD+DG=1+9=10，

所以，點P的坐標是（3，﹣10），

綜上所述，滿足條件的點P共有4個，其坐標分別為（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．

【點評】本題考查了二次函數的綜合題型，主要涉及待定系數法求二次函數解析式，勾股定理的應用，相似三角形對應邊成比例的性質，（3）題稍微復雜，一定要注意分相似三角形的對應邊的不同，點P在點D的左右兩邊的情況討論求解．