Question

【題目】疫情期間，某銷售商在網上銷售A、B兩種型號的電腦“手寫板”，其進價、售價和每日銷量如下表所示：

	進價（元/個）	售價（元/個）	銷量（個/日）
A型	400	600	200
B型	800	1200	400

根據市場行情，該銷售商對A型手寫板降價銷售，同時對B型手寫板提高售價，此時發現A型手寫板每降低5元就可多賣1個，B型手寫板每提高5元就少賣1個．銷售時保持每天銷售總量不變，設其中A型手寫板每天多銷售x個，每天獲得的總利潤為y元．

（1）求y與x之間的函數關系式，并直接寫出x的取值范圍；

（2）要使每天的利潤不低于212000元，求出x的取值范圍；

（3）該銷售商決定每銷售一個B型手寫板，就捐助a元給受“新冠疫情”影響的困難學生，若當30≤x≤40時，每天的最大利潤為203400元，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據“總利潤=A型手寫板利潤+B型手寫板利潤”即可確定函數解析式；根據600-400-5x≥0，1200-800+5x≥0即可確定自變量取值范圍；

（2）把y＝212000，代入函數解析式求出x值，根據函數增減性結合（1）自變量取值，即可求出x的取值；

（3）設捐款后每天的利潤為w元，則w=-10x2+800x+200000-(400-x)a，即可得到w與x的關系式，確定對稱軸為，結合確定對稱軸取值范圍，結合拋物線的性質即可求出當x＝40時，w最大，進而求出a．

解：（1）由題意得，y＝(600-400-5x)(200+x)+(1200-800+5x)(400-x)

＝-10x2+800x+200000，(0≤x≤40且x為整數)

(寫0＜x≤40且x為整數，不扣分)

（2）x的取值范圍為20≤x≤40．

理由如下：y＝-10x2+800x+200000＝-10(x-40)2+216000，

當y＝212000時，-10(x-40)2+216000＝212000，

(x-40)2＝4000，x-40＝±20，

解得：x＝20或x＝60．

要使y≥212000，

得20≤x≤60；

∵0≤x≤40，

∴20≤x≤40；

（3）設捐款后每天的利潤為w元，則

w＝-10x2+800x+200000-(400-x)a=-10x2+(800+a)x+200000-400a，

對稱軸為，

∵0＜a≤100，

∴，

∵拋物線開口向下，當30≤x≤40時，w隨x的增大而增大，

當x＝40時，w最大，

∴-16000+40（800+a）+200000-400a＝203400，

解得a＝35．