Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交與點A（﹣3，0），點B（9，0），與y軸交與點C，頂點為D，連接AD、DB，點P為線段AD上一動點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）過點P作BD的平行線，交AB于點Q，連接DQ，設AQ=m，△PDQ的面積為S，求S關于m的函數解析式，以及S的最大值；
（3）如圖2，拋物線對稱軸與x軸交與點G，E為OG的中點，F為點C關于DG對稱的對稱點，過點P分別作直線EF、DG的垂線，垂足為M、N，連接MN，當△PMN為等腰三角形時，求此時EM的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵a=﹣ ，拋物線與x軸交與點A（﹣3，0），點B（9，0），

∴可以假設拋物線解析式為y=﹣ （x+3）（x﹣9）=﹣ x2+ x+6，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+6

（2）

解：∵y=﹣ x2+ x+6=﹣ （x﹣3）2+8，

∴頂點D坐標（3，8），

∵AD=DB=10，

∴∠DAB=∠DBA，

∵PQ∥BD，

∴∠PQA=∠DBA，

∴∠PAQ=∠PQA，

∴PA=PQ，

∴△PAQ為等腰三角形，

作PH⊥AQ于H，則AH=HQ= （如圖1中），

∴tan∠DAB= = ，

∴PH= m，

∴S=S△ADQ﹣S△APQ= m8﹣ m m=﹣ m2+4m=﹣ （m﹣6）2+12，

∴當m=6時，S最大值=12

（3）

解：∵E（ ，0），F（6，6），

∴直線EF解析式為y= x﹣2，直線AD解析式為y= x+4，

∴EF∥AD，作EL⊥AD于L，（如圖2中）

∵AE= ，sin∠DAB= ，

∴LE= × = =PM，

①PM=PN= 時，

∴xP=3﹣ =﹣ ，yP=﹣ × +4= ，

∴P（﹣ ， ），

∴直線PM解析式為y=﹣ x+ ，

由 ，解得 ，

∴點M（ ， ）

∴EM= = ．

②NP=NM時，設直線EF與對稱軸交于點K，K（3，2），

此時點N在PM的垂直平分線上，DN=NK，

∴N（3，5），P（ ，5），

∴直線PM的解析式為y=﹣ x+ ，

由 解得 ，

∴M（ ， ），

∴EM= = ，

③PM=MN時，cos∠MPN= = ，

∴PN= ，由此可得P（﹣ ， ），

∴直線PM解析式為y=﹣ x﹣ ，

由 解得 ，

∴M（ ，﹣ ），

∴EM= = ．

綜上所述，EM= 或 或 ．

【解析】（1）可以假設拋物線解析式為y=﹣ （x+3）（x﹣9），展開化簡即可．（2）作PH⊥AQ于H，則AH=HQ= （如圖1中），根據S=S△ADQ﹣S△APQ構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題．（3）分三種情形討論①PM=PN，②NP=NM，③MN=MP，分別求出直線PM的解析式，利用方程組求出點M坐標即可解決問題．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．