Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于兩點，直線與y 軸交于點，與軸交于點,點是軸上方的拋物線上一動點，過點作軸于點，交直線于點.設點的橫坐標為。

（1）求拋物線的解析式；

（2）若,求的值；

（3）若點是點關于直線的對稱點、是否存在點，使點落在y軸上？若存在，求出相應的點的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+4x+5．(2) m=2或m=．(3) 點P坐標為（-，），（4，5），（3-，2-3）.

【解析】

試題（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；

（2）用含m的代數式分別表示出PE、EF，然后列方程求解；

（3）解題關鍵是識別出當四邊形PECE′是菱形，然后根據PE=CE的條件，列出方程求解；當四邊形PECE′是菱形不存在時，P點y軸上，即可得到點P坐標．

試題解析：（1）將點A、B坐標代入拋物線解析式，得：

，

解得，

∴拋物線的解析式為：y=-x2+4x+5．

（2）∵點P的橫坐標為m，

∴P（m，-m2+4m+5），E（m，-m+3），F（m，0）．

∴PE=|yP-yE|=|（-m2+4m+5）-（-m+3）|=|-m2+m+2|，

EF=|yE-yF|=|（-m+3）-0|=|-m+3|．

由題意，PE=5EF，即：|-m2+m+2|=5|-m+3|=|-m+15|

①若-m2+m+2=-m+15，整理得：2m2-17m+26=0，

解得：m=2或m=；

②若-m2+m+2=-（-m+15），整理得：m2-m-17=0，

解得：m=或m=．

由題意，m的取值范圍為：0＜m＜5，故m=、m=這兩個解均舍去．

∴m=2或m=．

（3）假設存在．

作出示意圖如下：

∵點E、E′關于直線PC對稱，

∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．

∵PE平行于y軸，∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，∴PE=CE，

∴PE=CE=PE′=CE′，即四邊形PECE′是菱形．

當四邊形PECE′是菱形存在時，

由直線CD解析式y=-x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．

過點E作EM∥x軸，交y軸于點M，易得△CEM∽△CDO，

∴，

即，

解得CE=|m|，

∴PE=CE=|m|，

又由（2）可知：PE=|-m2+m+2|

∴|-m2+m+2|=|m|．

①若-m2+m+2=m，整理得：2m2-7m-4=0，

解得m=4或m=-；

②若-m2+m+2=-m，整理得：m2-6m-2=0，解得m1=3+，m2=3-．

由題意，m的取值范圍為：-1＜m＜5，故m=3+這個解舍去．

當四邊形PECE′是菱形這一條件不存在時，

此時P點橫坐標為0，E，C，E'三點重合與y軸上，菱形不存在，即P點為（0，5）．

綜上所述，存在滿足條件的點P，可求得點P坐標為（-，），（4，5），（3-，2-3）