Question

【題目】如圖，△ABC中，以BC為直徑的圓交AB于點D，∠ACD=∠ABC．

（1）求證：CA是圓的切線；

（2）若點E是BC上一點，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圓的直徑．

Answer 1

【答案】解： （1）∵BC是直徑，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，

∵∠ACD=∠ABC，∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圓的切線．

（2）在Rt△AEC中，tan∠AEC=，∴, ;

在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴, ;

∵BC-EC=BE，BE=6，∴,解得AC=,

∴BC=．即圓的直徑為10.

【解析】試題分析：（1）根據圓周角定理BC得到∠BDC=90°，推出∠ACD+∠DCB=90°，即BC⊥CA，即可判斷CA是圓的切線；

（2）根據銳角三角函數的定義得到tan∠AEC=，tan∠ABC=，推出AC=EC，BC=AC，代入BC﹣EC=BE即可求出AC，進一步求出BC即可．

試題解析：（1）證明：∵BC是直徑，

∴∠BDC=90°，

∴∠ABC+∠DCB=90°，

∵∠ACD=∠ABC，

∴∠ACD+∠DCB=90°，

∴BC⊥CA，∴CA是圓的切線．

（2）解：在Rt△AEC中，tan∠AEC=，

∴，AC=EC，

在Rt△ABC中，tan∠ABC=，

∴，BC=AC，

∵BC﹣EC=BE，BE=6，

∴，

解得： ，

∴BC==10，

答：圓的直徑是10．