Question

【題目】（2019秋潮陽區校級月考）已知：二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標為(﹣3，0)，與y軸交于點C，點D(﹣2，﹣3)在拋物線上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線的對稱軸上有一動點P，求△PAD周長的最小值；

（3）拋物線的對稱軸上有一動點M，當△MAD是等腰三角形時，直接寫出M點坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）3；（3）點M坐標為：(﹣1，﹣1)或(﹣1，)或(﹣1，)或(﹣1，0)

【解析】

（1）將點A、D的坐標代入拋物線表達式，即可求解；

（2）點A關于函數對稱軸的對稱點為點B，連接PD交函數對稱軸與點P，則點P為所求點，即可求解；

（3）分AM＝DM、AM＝AD、DM＝AD三種情況，分別求解即可．

（1）將點A、D的坐標代入拋物線表達式得：，解得：，

拋物線的表達式為：y＝x2+2x﹣3；

（2）y＝x2+2x﹣3，令y＝0，則x＝﹣3或1，令x＝0，則y＝﹣3，

故點B、C的坐標分別為：（1，0）、（0，﹣3）；

函數的對稱軸為：x＝﹣1，

點A關于函數對稱軸的對稱點為點B，連接PD交函數對稱軸與點P，則點P為所求點，

將點D、B的坐標代入一次函數表達式：y＝kx+b得：，解得：，

故BD的函數表達式為：y＝x﹣1，

當x＝﹣1時，y＝﹣2，即點P（﹣1，﹣2），

△PAD周長的最小值＝PA+PD+AD＝BD+AD3；

（3）設點M（﹣1，m），點A、D的坐標分別為：（﹣3，0）、（﹣2，﹣3），

則AM2＝4+m2，DM2＝1+（m+3）2，AD2＝1+9＝10，

當AM＝DM時，4+m2＝1+（m+3）2，解得：m＝﹣1；

當AM＝AD時，同理可得：m或；

當DM＝AD時，同理可得：m＝0或﹣6（舍去﹣6）；

綜上，點M坐標為：（﹣1，﹣1）或（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，0）．